Cómo solucionar $\frac{1}{a} x^2+\frac{1}{b}(1-x)^2=\frac{1}{a+b}$?

Question

Cómo podemos resolver esta ecuación con un método sencillo? $$\frac{1}{a} x^2+\frac{1}{b}(1-x)^2=\frac{1}{a+b}$$

(para algunos $a,b\ne 0$)

Answer 1

Sugerencia: Ampliar la $(1-x)^2$ para obtener una ecuación de segundo grado en $x$. A continuación, utilice la fórmula cuadrática.

Answer 2

Usted tiene una ecuación de segundo grado en $x$.

Para que la pregunta tenga sentido, usted necesita $a+b \neq 0$.

Usted también dijo que $a,b \neq 0$.

Para borrar las fracciones, se multiplican a través de por $ab(a+b)$:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}\,x^2+ \frac{1}{b}\,(1-x)^2 &=& \frac{1}{a+b} \\ \\ \frac{ab(a+b)}{a}\,x^2+ \frac{ab(a+b)}{b}\,(1-x)^2 &=& \frac{ab(a+b)}{a+b} \\ \\ b(a+b)x^2+ a(a+b)(1-x)^2 &=& ab \\ \\ b(a+b)x^2+ a(a+b)(1-x)^2 - ab &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray*}

Usted tiene un montón de trabajo que hacer aquí. Es necesario multiplicar el $(1-x)^2$ y recoger los términos semejantes. Si usted hace esto, entonces usted va a obtener \begin{eqnarray*} (a+b)^2x^2 -2a(a+b)x+a^2 &=& 0 \\ \\ x^2 -\frac{2a}{a+b}\,x+\frac{a^2}{(a+b)^2} &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray*}

Hay muchas maneras de resolver esta ecuación. Yo sugiero que completar el cuadrado.

Answer 3

Un simple pero un poco ortodoxo enfoque:

Aprovechar la simetría.

Poner $y=1-x$. $$\begin{align} \frac {x^2}a +\frac {y^2}b&=\frac 1{a+b}\\ \frac {x^2}{\left(\frac a{a+b}\right)}+\frac {y^2}{\left(\frac b{a+b}\right)}&=1\\ \frac {x^2}A+\frac {y^2}B&=1\qquad (*)&&\text{where }A=\frac a{a+b}, B=\frac b{a+b} \end{align}$$ Como $$x+y=1,\\ A+B=1$$ una posible solución podría ser $$x=A, y=B$$ Sustituyendo esto en $(*)$ muestra que la solución es correcta.

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Nota Adicional

Otra posible solución podría ser $x=B, y=A$, pero subtituting esta en (*) no produce el resultado deseado, por lo que esta no es una solución.

Answer 4

Considere la posibilidad de $f(x) = x^2$ y $x_1 = bx$, $ x_2 = a(1-x) $. También, $a_1=\frac{1}{ab^2}$, $a_2=\frac{1}{a^2b}$ entonces, podemos decir,

$$(\frac{\frac{bx}{ab^2}+\frac{a(1-x)}{a^2b}}{\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{a^2b}})^2\leq\frac{\frac{(bx)^2}{ab^2}+\frac{(a(1-x))^2}{a^2b}}{\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{a^2b}}$$ $$$$ Esto es debido a Johan Jensen, ahora la ecuación dada tiene en equlaity $$a(1-x)=bx\implies x=\frac{a}{a+b}$$

Answer 5

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{{x^{2} \over a} + {\pars{1 - x}^{2} \over b}=\frac{1}{a+b}}$

\begin{align} x & = \root{a \over a + b}\sin\pars{\xi}\,,\quad 1 - x = \root{b \over a + b}\cos\pars{\xi} \\[1cm] \implies 1 & = x + \pars{1 - x} = \root{a \over a + b}\bracks{\sin\pars{\xi} + \root{b \over a}\cos\pars{\xi}} \\[5mm] & = \root{a \over a + b}\root{{b \over a} + 1} \sin\pars{\xi + \arctan\pars{\root{b \over a}}} \\[1cm] 1 & = \sin\pars{\xi + \arctan\pars{\root{b \over a}}} \\[5mm] \implies \xi & = -\arctan\pars{\root{b \over a}} + \pars{2n + {1 \over 2}}\pi\,, \qquad n \in \mathbb{Z} \end{align}

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\begin{align} \color{#f00}{x} & = \root{a \over a + b} \sin\pars{-\arctan\pars{\root{b \over a}} + \bracks{2n + {1 \over 2}}\pi} = \root{a \over a + b} \cos\pars{\arctan\pars{\root{b \over a}}} \\[5mm] & = \root{a \over a + b}\, {1 \over \root{\tan^{2}\pars{\arctan\pars{\root{b \over a}}} + 1}} = \root{a \over a + b}\,{1 \over \root{b/a + 1}} = \bbx{a \over a + b} \end{align}