Integrar : $\int (1+2x+3x^2+4x^3+\cdots )dx $

Question

Cómo integrar este :

$\int (1+2x+3x^2+4x^3+\cdots )dx $

Mi enfoque :

$\int (1+2x+3x^2+4x^3+\cdots )dx $ = $x+x^2+x^3+x^4+\cdots $

¿Es esta serie = $(1-x)^{-1}$

Por favor, sugiera, será de gran ayuda. Gracias.

Answer 1

Debe asumir que $-1 <x <1$

y el resultado es

$$C+x+x^2+x^3+...=\color {red}{x}\frac {1}{1-x} +C$$

$$=\frac {1}{1-x}+D $$

Answer 2

$$\int(1+2x+3x^2+4x^3+\dots)dx = \int \left(\sum_{i=1}^{\infty}ix^{i-1}\right)= \sum_{i=1}^{\infty} \int ix^{i-1}dx = \sum_{i=1}^{\infty} i\frac{x^i}{i} +c=\sum_{i=1}^{\infty}x^i+c=\frac{x}{1-x}+c$$