¿Por qué la temperatura totalmente diferenciable?

Question

Supongamos que existe una función de $T=T(p,V)$, la temperatura de la llama, que es invertible en todo el espacio de acuerdo a la presión de $p$ y el volumen de $V$.

Es cierto que $T$ es dos veces derivable la función de $p$$V$, y que, además, la $\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial p\partial V}=\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial V\partial p}$?

Si sí, ¿cómo podemos demostrarlo? Si no, ¿qué criterios adicionales son necesarios para tal condición?

Answer 1

Que la restricción en la segunda derivados con respecto a $p$ $V$ es una consecuencia directa de la temperatura de $T$ ser una función de estado de $p$$V$. Físicamente esto significa que los valores de $p$ $V$ es toda la información que necesite para calcular la temperatura para que el estado del sistema.

Esto puede parecer una evidente condición a imponer pero no siempre se verifica para los sistemas físicos. De hecho, en muchos escenarios reales, el aumento de la primera presión en una cantidad $\Delta p$ y , a continuación, el volumen de una cantidad $\Delta V$ usted puede obtener un estado diferente (con una temperatura diferente a $T$), que el estado se haya obtenido mediante la variación de la primera el volumen y la presión por la misma cantidad.

Si por otro lado desea describir un sistema para que el de arriba es no verdadero, es decir, un sistema para el que no importa la manera en la que llegó a la presión de $p$ y el volumen de $V$ siempre tienen la misma temperatura, entonces esto va a imponer una condición en la dependencia funcional de $T$$p$$V$, lo que supone el formulario que usted ha mencionado: $$ \frac{\partial^2 T}{\partial p\partial V} = \frac{\partial^2 T}{\partial V\partial p}. $$

Hay muchas maneras de ver por qué la $T$ ser una función de estado implica el anterior. Matemáticamente se puede ver como una instancia de Schwarz del teorema. Una forma más intuitiva de ver que es de notar que $ \frac{\partial^2 T}{\partial V\partial p}(p,V) $ da la cantidad de variación en $T$ si a partir de $(p,V)$ que varían $p$ por una pequeña cantidad $dp$ y, a continuación, que varían $V$ por una pequeña cantidad $dV$. $ \frac{\partial^2 T}{\partial p\partial V}(p,V) $ es el mismo al variar primera $V$ y, a continuación,$p$, y si se quiere imponer lo que no importa el orden con el que se varían los parámetros sigue inmediatamente que estas dos cantidades deben ser las mismas.