$A^2-B^2=\alpha(AB-BA)$

Question

Sea $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ , $\alpha\in\mathbb{R}$, tal que $A^2-B^2=\alpha(AB-BA)$. Demuestra que

$a)$ Si $\alpha=0$ y $n$ es impar, entonces $\det(AB-BA)=0$

$b)$ Si $\alpha\neq0$ entonces $(AB-BA)^n=0_n$

Para $a)$ utilizamos el hecho de que $$\det(A+B)(A-B)=\det(A-B)(A+B)$$ lo cual significa que $$\det(AB-BA)=\det(-(AB-BA))$$ y como $n$ es impar obtenemos la conclusión. El segundo punto es un poco más complicado. Solo logré mostrar que $\det(AB-BA)=0$. Utilizando el mismo método que en $a)$, observamos que $$\det((\alpha+1)(AB-BA))=\det((\alpha-1)(AB-BA))$$ y dado que $\alpha\neq0$, obtenemos que nuestro determinante es $0$, pero a partir de aquí no tengo idea de qué hacer a continuación.

Answer 1

Si $\alpha\not= 0$, entonces demostramos que $A,B$ son simultáneamente triangularizables (denotado por ST) sobre $\mathbb{C}$; lo que implica que $AB-BA$ es nilpotente.

Sea $A=uX+vY,B=wX+xY$; si $ux-wv\not= 0$, entonces basta con demostrar que $X,Y$ son ST. Obtenemos

$(u^2-w^2)X^2+(v^2-x^2)Y^2+(?)XY+(?)YX=0$.

Tomando $u=w=x=1,v=-1$, obtenemos $(1+\alpha)XY=(\alpha -1)YX$.

Caso 1. $\alpha=\pm 1$. Entonces $XY=0$ o $YX=0$ y $X,Y$ son ST.

Caso 2. $\alpha\notin \{0,\pm 1\}$. Entonces $XY=\dfrac{\alpha -1}{\alpha +1}YX=kYX$.

Dado que $\alpha\in\mathbb{R}$, $k$ no puede ser una raíz primitiva de la unidad; según un resultado de Drazin, $X,Y$ son ST y hemos terminado.

ver. mi publicación en

$\det(AB-BA)=0$?