Dado un suave colector $M$ y cualquier curva suave $C\subset M$, podemos siempre encontrar una métrica de Riemann $g$ $M$ para que la curva es una geodésica (en el variacional sentido)? Yendo más allá, si no, lo que es una condición necesaria y suficiente para $C$ a realizarse como una geodésica en este sentido?
Respuesta
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Ciertamente, esto no es cierto en general sin algunas restricciones adicionales: Escoja cualquier curva suave $\gamma: I \to M$ tales que, para los tiempos de $a \neq b$, $\gamma(a) = \gamma(b)$ y $\gamma'(a) = \gamma'(b)$, pero los gérmenes de $a$ $b$ no está de acuerdo, y elegir cualquier métrica $g$. A continuación, $\gamma$ no puede ser una geodésica, como la singularidad de geodesics garantía de que el germen de la $\gamma$ tiempo $t$ está determinado por $\gamma(t)$$\gamma'(t)$. (Para un estudio más concreto argumento, simplemente tome $M = \Bbb R^n$ y reemplazar la condición de los gérmenes con la condición de que $\gamma''(a) \neq \gamma''(b)$.)
Por otro lado, una versión local de la declaración es verdadera:
Supongamos $\gamma: I \to M$ es un nonsingular curva. Entonces, para cualquier momento $t_0 \in I$, hay un $\epsilon > 0$ y una métrica $g$ $M$ tal que $\bar{\gamma} := \gamma\vert_{(t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon)}$ es una con parámetros geodésicos de $g$.
Prueba (boceto): Extender $\gamma'$ a un suave, nonvanishing campo de vectores $X$ en un barrio de $\gamma(t_0)$, y elegir flowbox coordenadas $(x^a)$ $X$ alrededor de ese punto. En particular, $\gamma'(t) = \partial_{x_1} \vert_{\gamma(t)}$ todos los $t$ lo suficientemente cerca de a $t_0$. Luego, utilizando un adecuado partición de la unidad, se puede construir un indicador $g$ $M$ que se da en flowbox coordenadas por $\sum (dx^a)^2$ en algunas de las vecindario $U$$\gamma(t_0)$. A continuación, puede elegir $\epsilon > 0$ tal que $(t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon)$ está contenida en el componente conectado de $t_0$$\gamma^{-1}(U)$. Por construcción, $\bar\gamma$ es una con parámetros geodésicos de $\sum (dx^a)^2$ y, por tanto, de $g$.
