En El Capítulo 7, El Hille-Yosida Teorema,
El Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Parcial Ecuaciones Diferenciales - Brezis, 2011.
Brezis mostró la siguiente afirmación (en la Proposición 7.1).
Reclamo: Supongamos que $A$ es un maximal monótono operador, $(I+\lambda A): D(A) \to R(I+\lambda A)$ es inyectiva operador, y $|(I+\lambda A)^{-1}u| \leq |u| $ para todos los $u \in R(I+\lambda A)$ para todos los $\lambda >0$. A continuación, $R(I+\lambda A) = H$.
La prueba de Brezis:
Vamos a probar que si $R(I+\lambda_{0} A) = H$ para algunos $\lambda_{0}>0$ luego $R(I+\lambda A) = H$ por cada $\lambda > \frac{1}{2}\lambda_{0}$.
Para algunos $f \in H$, tratamos de resolver la ecuación
$u+\lambda Au = f$ con $\lambda >0$. (1)
La ecuación (1) puede ser escrita como
$u+ \lambda_{0}Au = \frac{\lambda_{0}}{\lambda}f+ \big( 1- \frac{\lambda_{0}}{\lambda}u \big)$
o, alternativamente,
$u= (I+\lambda A)^{-1}\big[\frac{\lambda_{0}}{\lambda}f+ \big( 1- \frac{\lambda_{0}}{\lambda}u \big)\big]$ $(2)$
Si $|1-\frac{\lambda_{0}}{\lambda}|< 1$, es decir, $\lambda > \frac{1}{2}\lambda_{0}$, podemos aplicar la asignación de contracción principio (el punto Fijo de Banach Teorema) y deducir que (2) tiene una solución.
Mi pregunta: ¿cómo probar que (2) tiene una solución con la del punto Fijo de Banach Teorema?
Gracias
Definiciones:
Una desenfrenada lineal operador $A: D(A)\subseteq H \to H$ se dice monótona si se cumple
$\langle A u, u \rangle \geq 0$ para todos los $u\in D(A)$.
Se llama maximal monótono si, además, $R(I+A)=H$.
