Independencia lineal en espacios vectoriales de dimensión infinita

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial que tenga una base contable. Cualquier conjunto con un número incontable de elementos tendrá, por tanto, que ser linealmente dependiente.

No sé cómo demostrar la afirmación anterior. Es cierto que si $V$ fueran de dimensión finita, digamos de dimensión $n$ cualquier conjunto de $n+1$ elementos serían linealmente dependientes. ¿Cómo podemos demostrar una afirmación análoga para los espacios vectoriales de infinitas dimensiones?

Answer 1

Dejemos que $\Sigma = \{ S \subset \mathbb{N} | S \text{ is finite} \}$ y observe que $\Sigma$ es contable.

Dejemos que $\{b_k\}$ sea la base contable.

Supongamos que $U$ es el conjunto incontable y $x \in U$ . Supongamos que $x = \sum_{k \in I} \alpha_k b_k$ con $\alpha_k \neq 0$ para todos $k \in I$ . Definir $\phi:U \to \Sigma$ por $\phi(x) = I$ , es decir, los índices del soporte de $x$ en la base $ \{b_k\}$ .

Desde $U$ es incontable, debe haber algún $I \in \Sigma$ tal que $\phi^{-1}(I)$ es incontable. Entonces cualquier colección de $|I|+1$ elementos de $\phi^{-1}(I)$ será linealmente dependiente.

Answer 2

Dejemos que $B$ sea una base contable de $V$ . Sea $S$ sea un subconjunto incontable de $V$ . Supongamos que $S$ es linealmente independiente. Entonces existe una base $C$ de $V$ tal que $S \subset C$ . Como toda base de un espacio vectorial tiene el mismo número cardinal (véase cualquier libro de texto de álgebra abstracta que trate de espacios vectoriales de dimensión infinita), $C$ es contable. Esto es una contradicción.

Answer 3

Para ser formal, si $V$ es contable, entonces existe un mapa $ f:V \to A $ tal que $ A \subseteq \Bbb N$ y $f$ es sobreyectiva. Para que este "conjunto" (llamémoslo $B$ ) sea incontable (un conjunto finito tiene un conjunto de potencias finitas o un conjunto de todos los subconjuntos), $V$ debe tener una cardinalidad infinita y $B \subseteq \mathcal PV$ donde $\mathcal PV$ denota el conjunto de potencias de $V$ . También estoy asumiendo que el conjunto $\{\{ v,\{v,m\}\}| v,m \in V\}$ es un elemento aceptable de $B$ .

Vemos que realmente sólo tenemos un infinito contable $V$ para preocuparse, es decir $\Bbb Q$ y el conjunto de elementos de $\Bbb Q$ que se utiliza para construir cualquier número real (las bases infinitas son las secuencias de Cauchy o los racionales). Entre dos números enteros cualesquiera sabemos que hay un número incontable de números reales. Así que aquí tenemos un ejemplo de una base infinita que es contable, pero que produce un espacio vectorial infinito e incontable.

Además vemos que los números reales como espacio vectorial infinito no son linealmente independientes. Son abarcados por los racionales y $dim\text{ }\Bbb Q = dim\text{ }\Bbb R$ cuando se ven como espacios vectoriales, aunque la cardinalidad no es ciertamente la misma.