¿Por qué es tiempo de parada definido como una variable aleatoria?

Question

Me han dado un curso intensivo en procesos estocásticos y martingales para los fines de un proyecto de semestre en ellos. El chico con el que estoy trabajando ha sido, creo yo, un poco impreciso en la definición de los tiempos de parada, y me parece que no puede encontrar nada en la Wikipedia o Google, que aclara el tema para mí.

Mi problema es que los tiempos de parada se definen como variables aleatorias. Pero dado que la motivación para el concepto de los tiempos de parada (no están básicamente diseñados para representar estrategias de apuestas?), que no parece en absoluto gusta cómo me atrevo a definir los tiempos de parada.

Me gustaría definir un tiempo de parada como, en cierto sentido, predicado, o una de dos valores de la función, a la que se asigna secuencias de valores a PARAR o NO PARAR. Así que dada una secuencia de valores (que representan los valores de los procesos estocásticos hasta el presente), la función indica si o no parar.

Pero en su lugar, un tiempo de parada está dada por Wikipedia como:

Un tiempo de paro con respecto a una secuencia de variables aleatorias $X_1, X_2, X_3,\ldots$ es una variable aleatoria $\tau$ con la propiedad de que para cada una de las $t$, la ocurrencia o no-ocurrencia del evento $\{\tau = t\}$ sólo depende de los valores de $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_t$.

No puedo ver a todos cómo relacionar la noción de los tiempos de parada como estrategias de apuestas. Si el tiempo de parada es una variable aleatoria con respecto a la secuencia de valores, no significa eso que no es un "determinado" estrategia? Que suena como usted mira cuánto dinero has hecho/perdido hasta ahora y, a continuación, basada en tanto que y el resultado de lanzar una moneda (o algo así), decidir si o no para detener la reproducción.

Estoy seguro de que estoy tremendamente malentendido, ya sea la definición, la motivación, o ambos. Por favor, evite mojar demasiado profundamente en la teoría de la medida o filtraciones, si es posible.

Answer 1

A veces es un ejercicio útil para separar el azar de la no-aleatoria de las piezas del rompecabezas.

Vamos a construir un tiempo de parada, comenzando sin aleatoriedad, a lo largo de las líneas de su intuición. Supongamos que el observaciones $X_j$ toma valores en el espacio de $S$, y deje $S^\mathbb{N}$ ser el espacio de $S$valores de las secuencias.

Para cualquier estrategia o política de aparcamiento, y cualquier $0\leq n<\infty$ podemos definir dos valores de mapa de $\phi_n:S^\mathbb{N}\to\{\mbox{GO},\mbox{STOP}\}$ que me dice qué hacer en el momento $n$ si yo fuera a observar $s=(s_0,s_1,\dots)$. Requerimos que $\phi_n(s)$ depende solo de la primera parte de la secuencia de $(s_0,s_1,\dots,s_n)$. Es decir, la decisión de parar en el tiempo $n$ debe depender sólo de las observaciones hasta el momento de $n$. Sin mirar hacia el futuro!

Ahora defina $\phi(s)=\inf(n\geq 0: \phi_n(s)=\mbox{STOP})$, donde el infimum más el conjunto vacío es $\infty$. Esto le da un mapa $\phi:S^\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup \{\infty\}$ que expresa nuestra política, por decirnos cuándo parar.

Por último podemos poner probabilidad de vuelta a la imagen mediante la definición de $\tau:\Omega\to \mathbb{N}\cup \{\infty\}$ por $$\tau(\omega)=\phi(X_0(\omega), X_1(\omega), X_2(\omega), \dots ).$$ Esta variable aleatoria es la detención de la estrategia aplicada a la secuencia aleatoria $(X_0(\omega), X_1(\omega), X_2(\omega), \dots)$.

Cada tiempo de parada de las $\tau$ puede ser expresado como este para algunos,$\phi$.
Para $0\leq n< \infty$, por el Doob-Dynkin lema, no es mensurable mapa $\varphi_n:(S^\mathbb{N},{\cal G}_n) \to \{0,1\}$ , de modo que $1_{[\tau=n]}=\varphi_n(X_0,X_1,X_2,\dots)$. Aquí ${\cal G}_n$ $\sigma$- campo generado por las coordenadas de los mapas de $s_j$$0\leq j\leq n$. Ahora vamos a $\phi(s)=\inf(n\geq 0: \varphi_n(s)=1)$.

Answer 2

Si $\tau\le n$ es determinado por $X_1,\ldots,X_n$. Depende de las personas, y esos son aleatorios, por lo $\tau$ es al azar. Uno puede preguntarse, por ejemplo, para el valor esperado de $\tau$ o la probabilidad de que $\tau=6$. Uno no podía hacer eso si $\tau$ no fue una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad.

Observe, sin embargo, que el valor de $\tau$ no está determinado por $X_1,\ldots,X_n$ si ellos determinan que (como a veces lo hacen) que $\tau>n$.

Una desagradable complicación es que una convencional definición de "detener el tiempo" se utiliza también a veces: Una variable aleatoria $\tau$ es un tiempo de parada para una secuencia $X_1,X_2,X_3,\ldots$ si para cada una de las $n$ incluso $\tau=n$ es independiente de $X_{n+1},X_{n+2},X_{n+3},\ldots$.

Answer 3

Creo que la respuesta es que si no son conscientes de los criterios de parada y observar el tiempo de parada a lo largo de varios ejecuta, se parecen comportarse de forma aleatoria debido a que los valores que opera en al azar. Digamos que si siempre se detiene cuando usted acumula un valor en una variable. No importa cual es simplemente un todo "añadir a la variable x(t) y y hasta que Y = A. Entonces el momento en el que alcance Y= a tan largo como x(t) crece de forma aleatoria. Espero que esto ayude. Es la forma en que yo lo entiendo.