Verificación de la Prueba de Discontinuidad de la Función Seno en x=0

Question

Demostrar que la siguiente función no es continua en a $0$.

$$f(x) = \begin{cases}0, & \text{when $x=0$} \\ \sin\left(\frac{1}{2x}\right), & \text {when $x\neq0$} \end{cases}$$

Prueba.

Para demostrar la discontinuidad es necesario analizar los Límites laterales de la función.

Para demostrar que el derecho no existe límite,

vamos a considerar la secuencia de $\{x_n\} = \frac{1}{(2n+1)\pi}$,

y observar que $\sin (\frac{1}{2x})$ = $(-1)^n$.

Desde entonces {$x_n$} converge a 0, pero $(-1)^n$ no converge,

se desprende de la Caracterización Secuencial de Continuidad Teorema de

que el derecho no existe límite.

Para demostrar que la izquierda no existe límite,

vamos a considerar la secuencia de $\{x_n\} = \frac{-1}{(2n+1)\pi}$,

y observar que $\sin \left(\frac{1}{2x}\right) = (-1)^{n+1}$.

Desde $\{x_n\}$ converge a $0$ pero $(-1)^{n+1}$ no converge,

se desprende de la Caracterización Secuencial de Continuidad Teorema de que la izquierda no existe límite.

Por lo tanto, $f(x)$ es discontinua en a $x=0$. Q. E. D.

Answer 1

Modo sobrescribir. Aquí está una prueba más corta.

Existe una secuencia $x_{n}$ de números positivos que converge a $0$ y de tal manera que la secuencia de $\sin(1 / x_{n}) = (-1)^n$ no converge. Por lo tanto, la función $f(x)$ falla a la derecha continua en $0$. Desde la función $\sin(x)$ es impar, la secuencia de $-x_{n}$ análogamente muestra el fracaso de la izquierda-la continuidad en$0$$f(x)$.