Sumas de tres cubos en progresión aritmética igual a un cubo de $x^3+(x+y)^3+(x+2y)^3 = z^3$

Question

Mediante búsqueda exhaustiva, pequeñas positivo y primitivo entero de soluciones,

$$x^3+(x+y)^3+(x+2y)^3 = 3 x^3 + 9 x^2 y + 15 x y^2 + 9 y^3= z^3\tag1$$

son,

$$x,y = 3,1,\quad x+y =2^2$$

$$x,y = 149,107,\quad x+y =2^8$$

$$x,y = 317,808,\quad x+y =3^2\cdot 5^3$$

P. S. La ecuación,

$$ax^3 +bx^2 y + c x y^2 + d y^3= z^3$$

con la inicial de la solución racional $x_0, y_0$ puede ser transformada en una curva elíptica. Por lo tanto $(1)$ tiene un número infinito de primitivo entero de soluciones. (Edit: acabo de recordar que me pidió algo similar hace dos años, pero sin la positividad requisito. Ver este post.)

Pregunta 1: ¿cuáles son los otros con seis dígitos o menos?

$\color{brown}{Update:}$ Zander encontrado,

$$x,y = 243800,249239,\quad x+y =79^3$$

Pregunta 2: ¿por Qué $x+y$ interesantes factorizations?

Para los no-positivo $x,y$ tenemos,

$$x,y = −1839,1871,\quad x+y =2^5$$

$$x,y = 13898941449153,-12222218425537 ,\quad x+y =2^8\cdot1871^3$$

Answer 1

Respuesta a la Pregunta 1.

Denotar $s=x+y$. A continuación, considere la ecuación $$ (s-y)^3+b^3+(s+y)^3=z^3,\etiqueta{1} $$ para los positivos $s,y,z$. En primer lugar, la consideración de tales entero soluciones: para$s>y$$s<y$.

Eq. $(1)$ es equivalente a $$ 3^3+6sy^2=z^3.\la etiqueta{2} $$ Denotar $z=3c$, $(2)$ es equivalente a

$$ s^3+2sy^2=9c^3.\la etiqueta{3} $$

Para comprobar todo-a-6-digital $x,y$ (o $s,y$), se puede utilizar ineq. $s^3<9c^3$, y considerar la posibilidad de $c<10^7/\sqrt[3]{9}$, es decir,$c<480750$.

Búsqueda exhaustiva (a a $c<1\,000\,000$) nos da esta tabla de soluciones:

\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline x & y & s=x+y & z\\ \hline -1 &2 &1 &3\cdot 1 \\ \bf{+3} &\bf{1} &\bf{2^2} &\bf{3\cdot 2} \\ -10 &11 &1 &3\cdot 3 \\ -16 &25 &3^2 &3\cdot 11 \\ \bf{+149} &\bf{107} &\bf{2^8} &\bf{3\cdot 136} \\ -919 &955 &6^2 &3\cdot 194 \\ -1839 &1871 &2^5 &3\cdot 292 \\ -8545 &8549 &2^2 &3\cdot 402 \\ +\bf{317} &\bf{808} &\bf{3^2\cdot5^3} &\bf{3\cdot 685} \\ -12759 &14956 &13^3 &3\cdot 4797 \\ -11589 &54181 &2^5\cdot11^3 &3\cdot 33132 \\ -560239 &590614 &3^5\cdot5^3 &3\cdot 133095 \\ \bf{+243800} &\bf{249239} &\bf{79^3} &\bf{3\cdot 271997} \\ \hline \end{array} Otras soluciones $x+y>10^6$ (aun $x+y>2\cdot 10^6$).

En La Pregunta 2.

Denotar $$ a=18\frac{c}{s}=6\frac{z}{s},\qquad b=36\frac{y}{s},\etiqueta{4} $$ a continuación, eq. $(3)$ es equivalente a $$ b^2=a^3-3\times 6^3\etiqueta{5} $$

"Caminar" sobre los puntos racionales de la Curva Elíptica descrita por eq. $(5)$, uno puede encontrar la más primitiva de las soluciones de $(1)$ ($x>0$ también). Y supongo que cubren todas las soluciones...

Nota que todos los $s=x+y$ tiene uno de $4$ formas aquí (por qué?): $$ s=q^3,\quad s=4t^3, \quad s=9q^3, \quad s=36q^3.\la etiqueta{6} $$ Este formulario es verdadera para$s>y$$s<y$.

Aquí está la tabla con positivo primitivo $x,y$ (ordenados por $s$):

\begin{array}{|r|r|rl|} \hline x & y & s=x+y & \\ \hline 3 &1 &4&=4\cdot 1^3 \\ 149 &107 &256&=4(2^2)^3 \\ 317 &808 &1125&=9\cdot 5^3 \\ 243800 &249239 &493039&=79^3 \\ 4062853 &437147 &4500000&=36(2 \cdot 5^2)^3 \\ 720469 &11105855 &11826324&=36(3\cdot 23)^3 \\ 2957658 &181262351 &184220009&=569^3 \\ 87092698624 &2477541935 &89570240559&=9(3^2\cdot 239)^3 \\ 456326994059 &722215431505 &1178542425564&=36(7\cdot 457)^3 \\ 3170389673427 &431591782862 &3601981456289&=15329^3 \\ 10460723603247633 &5072768120572198 &15533491723819831&=(59\cdot4229)^3 \\ 132098636066470851 &28361108004240976 &160459744070711827&=(7\cdot 149\cdot 521)^3 \\ 74556823768778731 &160637266326925333 &235194090095704064&=4(2^3\cdot 13\cdot 3739)^3 \\ \cdots & \cdots & \cdots\\ \hline \end{array}