Mostrando la existencia de $\lim\limits_{x\to 1^-} \frac{1-x}{1-f(x)}$

Question

Deje $f:[0,1]\to[0,1]$ ser continua, diferenciable y con $f(1)=1$ que $f(x)\le x$ todos los $x$. Considerar el límite $$ \lim_{x\to 1^-} \frac{1-x}{1-f(x)}. $$ ¿El límite de existir? Si existe, ¿es posible decir que debe ser finito?

Answer 1

Para todos los $x<1$ tenemos que $$f(x)\le x \implies 1-x\le 1-f(x) \implies \frac{1-x}{1-f(x)}\le 1$$ (the term $1-f(x)$ is certainly positive for $x<1$ because $f(x)\le x<1$). Letting $x\a 1^-$, this implies that the limit must be less or equal than $1$. Now since the limit is equal to $1/f'(1)$ (as noted in the comments), we obtain (putting these together) that $$\frac{1}{f'(1)}\le 1 \implies 1\le f'(1)$$ so the possibility $f'(1)=0$ se puede descartar.

Answer 2

$\frac{f(1)-f(x)}{1-x}\to f'(1)$ pero como $f(x)\le x$ tenemos $f'(1)\ge 1$.