finito grupo de orden impar

Question

Es cierto que cada grupo finito de orden impar es isomorfo a un subgrupo de $A_n$?

Yo solía del teorema de Cayley, pero no podía seguir adelante. No estoy recibiendo si n es el orden del grupo o no. Puede alguien por favor me ayude.

Answer 1

Si esto es cierto: mira la homomorphism $\varphi: S_n \rightarrow C_2$, $\varphi(\sigma)=sign(\sigma)$. A continuación,$ker(\varphi)=A_n$. El orden de la imagen de su grupo $G$ (ahora visto como un subgrupo de $S_n$ (Cayley)) es $|\varphi(G)|$ y por los teoremas de isomorfismo, este número se divide $|C_2|=2$ y se divide $|G|$, que es impar. Por lo $|\varphi(G)|=1$ y, por tanto,$G \subseteq ker(\varphi)$.

Answer 2

El uso del teorema de Cayley es el camino a seguir. Se puede entonces considerar que $G$ es un subgrupo de $\mathfrak{S}_n$ algunos $n$. Pero cada elemento $g\in G$ $g^{2k+1} = 1$ algunos $k$. ¿Qué implica esto en $\epsilon(g)$ ?