$(\mathbb Z/p \mathbb Z \rtimes \mathbb Z/q \mathbb Z) \times \mathbb Z/q \mathbb Z \cong\mathbb Z/p \mathbb Z \rtimes (\mathbb Z/q \mathbb Z)^2$?

Question

Dado:

Deje $p$ e $q$ ser números primos tales que $q$ divide $p-1$.

Está bien saber que hay un monomorphism $\varphi: \mathbb Z/q \mathbb Z \to Aut(\mathbb Z/p \mathbb Z)$.

Definir homomorphisms $\varsigma: (\mathbb Z/q \mathbb Z)^2 \to \mathbb Z/ q \mathbb Z$ donde $(a,b) \mapsto a-b$ e $\vartheta: (\mathbb Z/q \mathbb Z)^2 \to Aut(\mathbb Z/p \mathbb Z)$ través $\vartheta = \varphi \circ \varsigma$.

Tenga en cuenta que la composición de los mapas se evalúa de derecha a izquierda.

Pregunta:

Si tenemos en cuenta los semi-productos directos $G := (\mathbb Z/p \mathbb Z \rtimes_\varphi \mathbb Z/q \mathbb Z) \times \mathbb Z/q \mathbb Z$ e $H := \mathbb Z/p \mathbb Z \rtimes_\vartheta (\mathbb Z/q \mathbb Z)^2$, son estos grupos isomorfos?

Pensamientos:

Mi intuición me dice: No, $G$ e $H$ no son isomorfos. Pero estoy seguro de cómo probar esta hipótesis. Traté de evaluar los centros de $Z(G)$ e $Z(H)$ de $G$ e $H$, respectivamente, lo que me dio $Z(G) = \{(0,0)\} \times \mathbb Z/q \mathbb Z$ e $\{(0,r,r): r \in \mathbb Z/q \mathbb Z\} \subseteq Z(H)$.

Hace que esta línea de ataque sentido? O es el argumento requerido bastante obvio?

Muchas gracias por tus apreciaciones!

Contexto:

Me topé con esta pregunta, mientras que la lectura de una colección de problemas sobre teoría de grupos que me interesaba como un laico.

Answer 1

Creo que los grupos son isomorfos. Usted puede probar esto en dos maneras. El primero es mostrar una explícita de isomorfismo, que no es difícil de hacer, pero un poco aburrido. La segunda manera es mostrar que $H$ "tiene la misma estructura $G$".

Es decir, usted tiene que encontrar dos desplazamientos normales subgrupos de H, cuya intersección es trivial, uno isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \rtimes_\varphi \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ y el otro isomorfo a $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. No es difícil encontrar la antigua. Como para el segundo, la has encontrado!