Mostrar $\models(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\theta))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\theta))$

Question

Pregunta: Mostrar $\models(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\theta))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\theta))$

Respuesta:

(1) Vamos, $\mathfrak{M},s\models(\varphi\rightarrow(\psi\rightarrow\theta)\rightarrow((\varphi\rightarrow\psi)\rightarrow(\varphi\rightarrow\theta))$

$\Leftrightarrow Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi\rightarrow(\psi\rightarrow\theta))=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}((\varphi\rightarrow\psi)\rightarrow(\varphi\rightarrow\theta))=1$

(2) Supongamos $Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi\rightarrow(\psi\rightarrow\theta))\neq 0$ ($=1$)

A continuación, $Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi\rightarrow(\psi\rightarrow\theta))=1$

$\Leftrightarrow Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi)=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\psi\rightarrow\theta))=1$

$\Leftrightarrow Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi)=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\psi)=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\theta)=1$

(3) a Continuación, $Val_{\mathfrak{M},s}((\varphi\rightarrow\psi)\rightarrow(\varphi\rightarrow\theta))=1$

$\Leftrightarrow Val_{\mathfrak{M},s}((\varphi\rightarrow\psi))=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi\rightarrow\theta)=1$

$\Leftrightarrow (Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi)=1$ $Val_{\mathfrak{M},s}(\psi)=0)$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi)=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\theta)=1$

(4) Así,

$Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi)=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\psi)=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\theta)=1$

implica

$(Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi)=1$ $Val_{\mathfrak{M},s}(\psi)=0)$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\varphi)=0$ o $Val_{\mathfrak{M},s}(\theta)=1$

El punto de la discordia:

Entiendo todos los pasos, pero no entiendo por qué la conclusión de (4) es necesariamente cierto. También en el paso (2), ¿por qué hemos de suponer que la afirmación es verdadera ($\neq 0$)?

Answer 1

(2) hemos de aplicar "en el meta-nivel" la equivalencia entre el$p \lor q$$\lnot p \to q$.

Por lo tanto, "$Val(φ→(ψ→θ))=0$ o $Val((φ→ψ)→(φ→θ))=1$" es equivalente a : "si $Val(φ→(ψ→θ)) \ne 0$, a continuación, $Val((φ→ψ)→(φ→θ))=1$".

A continuación, la prueba va un "desenrollado" por separado el antecedente :

$Val(φ→(ψ→θ)) \ne 0$

en (2) para obtener el equivalente a condición de que :

(2a) $ \ Val(φ)=0$ o $Val(ψ)=0$ o $Val(θ)=1$

y la consecuente :

$Val((φ→ψ)→(φ→θ))=1$

en (3) para obtener el equivalente a condición de que :

(3a) $ \ (Val(φ)=1$ $Val(ψ)=0)$ o $Val(φ)=0$ o $Val(θ)=1$.

Ahora, volviendo a la condicional inicial, podemos utilizar (2a) y (3a) por encima de expresarlo como :

si $[ \ Val(φ)=0$ o $Val(θ)=1$ o $Val(ψ)=0 \ ]$, a continuación, $[ \ Val(φ)=0$ o $Val(θ)=1$ o $(Val(φ)=1$$Val(ψ)=0) \ ]$.

Para mostrar que esta implicación tiene, se puede argumentar por casos :

(i) si $Val(φ)=0$ se mantiene, entonces "$Val(φ)=0$ o ..." sostiene;

(ii) la misma si $Val(θ)=1$.

Los "casos difíciles" es :

(iii) si $Val(ψ)=0$ mantiene; en este caso tenemos dos sub-casos : $Val(φ)=0$ mantiene, y por lo tanto de nuevo : "$Val(φ)=0$ o ..." sostiene; o $Val(φ)=1$ mantiene, y por lo tanto "$(Val(φ)=1$ $Val(ψ)=0)$ " se mantiene, y así también "$Val(φ)=0$ o ..." sostiene.

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Comentario

A mí me parece una muy complicado para "describir con palabras" de ocho líneas de verdad de la tabla, es decir, uno muy simple ...