lo que garantiza que $U_1\cap U_2=\emptyset$?

Question

$f:X\to Y$ ser un continuo inyectiva mapa, $Y$ ser un Hausdorff , Tenemos que demostrar $X$ es de Hausdorff.

$a,b\in X$ tal que $a\ne b$$f(a)\ne f(b)$, lo $\exists V_1,V_2$ abierto conjuntos que contengan $f(a),f(b)$$V_1\cap V_2=\emptyset$. Debido a la continuidad de $a\in U_1=f^{-1}(V_1),b\in U_2=f^{-1}(V_2)$ donde $U_1,U_2$ están abiertas en $X$, Ahora mi pregunta es, ¿qué garantiza que $U_1\cap U_2=\emptyset$?

Answer 1

Tenga en cuenta que $U_1 \cap U_2 = f^{-1} [ V_1 ] \cap f^{-1} [ V_2 ] = f^{-1} [ V_1 \cap V_2 ] = f^{-1} [ \varnothing ]$.

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Esencialmente, es debido a la inversa de la operación de imagen respeta el conjunto básico de la teoría de las operaciones: Si $f : X \to Y$, luego

• $f^{-1} [ B_1 ] \cup f^{-1} [ B_2 ] = f^{-1} [ B_1 \cup B_2 ]$;
• $f^{-1} [ B_1 ] \cap f^{-1} [ B_2 ] = f^{-1} [ B_1 \cap B_2 ]$;
• $f^{-1} [ Y \setminus B ] = X \setminus f^{-1} [ B ]$.

Esto es en gran diferencia en el "adelante" imagen " de la operación, que sólo respeta la unión de la operación en general.