Demuestra que una matriz simétrica con una entrada diagonal positiva tiene al menos un valor propio positivo

Question

Dejemos que $A$ ser un simétrico martix $n \times n$ de tal manera que haya algún $i$ tal que $a_{ii}>0$ .

Demostrar que $A$ tiene un valor propio positivo.

Tengo una pista que no sé cómo usar/comprobar: "Comprueba que $a_{ii}=e^t_i*A*e_i$ .

Gracias,

Alan

Answer 1

Si $A$ tiene todos los valores propios no positivos, entonces es semidefinido negativo por lo que $x^t A x \le 0$ para todos $x \in \mathbb R^n$ . Pero esto contradice $e_i^t A e_i = a_{ii} > 0$ . La contradicción implica que $A$ tiene al menos un valor propio positivo. Se puede comprobar $e_i^t Ae_i = a_{ii}$ con sólo realizar la multiplicación necesaria.

Answer 2

Por contradicción supongamos que todos los valores propios $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ de $A$ son no positivos y por el teorema espectral dejemos que $(v_1,\ldots,v_n)$ una base ortonormal de vectores propios, entonces usando la pista dejemos $e_i=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$ y luego $$a_{ii}=e_i^tAe_i=\sum_{j=1}^n\lambda_j\alpha_j^2\le0$$ que es una contradicción.