Tomar la derivada de una fracción compuesta

Question

Así que tengo que hacer un montón de cosas con el derivado de $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} .$$

La falta de sueño está matando mi capacidad de hacer fracciones compuestas hoy. ¿Puede alguien mostrarme cómo racionalizar esto o tomar su derivado?

Answer 1

Sabemos que la diferenciación de $x^n$ ($n \in \mathbb{R}$) con respecto a $x$$n \times x^{n-1}$.

Observe que podemos escribir: $$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$$ ahora la aplicación de la diferenciación:

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \bigl(x^{-1/2}\bigr)= -\frac{1}{2} \times x^{-1/2-1} = -\frac{1}{2} \times x^{-3/2}=-\frac{1}{2 \sqrt{x^{\large3}}}$$ .

Answer 2

En general, la regla de la cadena es tu amiga:

$$(f(g(x))' = f'(g(x)) g'(x).$$

Es un poco demasiado en su caso, pero el establecimiento de $f(x) = 1/x$ y $g(x) = \sqrt x$ , ya que $f'(x) = -1/x^2$ y $g'(x) = x^{-1/2}/2$ , $$(1/\sqrt x)' = (-1/(\sqrt x)^2) (x^{-1/2}/2) = -x^{-3/2}/2.$$

Para expresiones más complicadas, basta con aplicar recursivamente la regla de la cadena hasta quedarse sin funciones que componer y diferenciar. A mí me resulta extraordinariamente fácil cometer errores haciendo esto, así que siempre voy despacio y compruebo cada paso. De hecho, en mi primera versión de esto, omití el "-" en $(-1/(\sqrt x)^2)$ .