Si $a_0=1$, e $a_n$ está definido por $a_n=a_{n+1}+a_{n+2}$, encontramos a $a_n$.

Question

Esta no es una tarea problema, aunque es en mi libro de texto como una práctica problema que me intriga lo suficiente como para intentarlo. Tengo alguna idea de cómo solucionar el problema, pero no sé cómo probar mi hipótesis.

Lee la pregunta exactamente como sigue:

Supongamos $a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$ es una secuencia de números reales positivos tales que $a_0=1$ y $a_n=a_{n+1}+a_{n+2}$, $n\geq 0$. Encontrar $a_n$.

Mi primera idea fue la de encontrar un modelo para trabajar con. Me di cuenta de ecuaciones para los 4 primeros términos de la secuencia:

\begin{align} a_0&=1=a_1+a_2=(3a_4+2a_5)+(2a_4+a_5)=5a_4+3a_5\\ a_1&=a_2+a_3=(2a_4+a_5)+(a_4+a_5)=3a_4+2a_5\\ a_2&=a_3+a_4=(a_4+a_5)+a_4=2a_4+a_5\\ a_3&=a_4+a_5 \end{align}

A partir de esto, parecería que la ecuación de $a_n$ es algo de la forma $a_n=la_{n+1}+ma_{n+2}$ algunos $l,m\in\mathbb{N}$ y algunos $a_{n+1},a_{n+2}\in\mathbb{R}^{+}$.

A menos que me equivoque, parece que se puede deducir que $a_0$ se puede escribir como una combinación lineal de dos variables$x$$y$, y los coeficientes de $l$ $m$ aparecer (aunque no está probado) para ser coprime. Si este es el caso, entonces debe existir un $x$ $y$ a satisfacer la ecuación de $1=lx+my$... Pero sólo he aprendido a hacer esto al $x$ $y$ están restringidos a ser cualquier valor en $\mathbb{Z}$... y claro que estoy restringido a los números reales positivos. Así que ¿cómo podría yo ser capaz de hacer frente a esto?

Answer 1

$a_n=a_{n+1}+a_{n+2}$, o $a_{n+2} = -a_{n+1}+a_{n}$.

Como de costumbre, deje $a_n = c^n$. Entonces $c^{n+2} = -c^{n+1}+c^n$ o $c^2 = -c+1$ o $c^2+c=1$.

$c^2+c+1/4=5/4$ o $(c+1/2)^4 = 5/4$ o $c = -1/2 \pm \sqrt{5}/2 =\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Vamos $c_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ y $c_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Todas las soluciones son de la forma $uc_1^n+vc_2^n$. Desde $a_0 = 1$, $1 = u+v$.

Desde $|c_1| < 1$ y $|c_2| > 1$, para todos los términos a ser positivo, $c_2$ no debe contribuir en todos, o de lo contrario no sería términos de arbitrariamente grande los valores positivos y negativos. Esto significa que $v = 0$.

Por lo tanto $u = 1$ y la serie es $a_n = c_1^n$.

Answer 2

Escribir en la forma habitual con la disminución de los subíndices como $$ a_{n+2} + a_{n+1} - a_n = 0. $$

Lo que sea que usted quiera llamarlo es $$ \lambda^2 + \lambda - 1 = 0. $$ If this has distinct roots then $a_n = B \lambda_1^n + C \lambda_2^n $ for real or complex constants $B,C$ dependiendo de cómo resulta.

Por eso, $$ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt 5}{2}, $$ o $$ \lambda_1 = \frac{-1 + \sqrt 5}{2} \approx 0.618, \; \; \lambda_2 = \frac{-1 - \sqrt 5}{2} \approx -1.618. $$

Si el coeficiente de $\lambda_2$ fueron distinto de cero, plazo que eventualmente podrían abrumar a la $\lambda_1$ plazo, lo que resulta en (eventualmente) alternando negativos y positivos $a_n.$ Nos dice el $a_n$ estancia positiva para siempre. Por lo $a_n = B \lambda_1^n.$ Desde $a_0 = 1$ debemos tener $$ a_n = \left( \frac{-1 + \sqrt 5}{2} \right)^n. $$

EDIT: es bastante fácil ver que el conjunto de secuencias de problemas $a_{n+2} + a_{n+1} - a_n = 0$ hacer un espacio vectorial, y se pueden añadir dos de las secuencias, se puede multiplicar por una constante, y así sucesivamente. Para el diferencial de las ecuaciones, hay una buena cantidad implicados en mostrar la dimensión del espacio vectorial. Pero tenemos la diferencia de las ecuaciones, y la dimensión es exactamente dos, simplemente porque a sabiendas de $a_0$ $a_1$ determina completamente la secuencia. Dicho de otra manera, definir una base de dos secuencias, llamarlos $x,y,$, por lo que $$ x_0 = 1, x_1 = 0; \; \; x_{n+2} + x_{n+1} - x_n = 0,$$ $$ y_0 = 0, y_1 = 1; \; \; y_{n+2} + y_{n+1} - y_n = 0.$$ Por lo tanto, si me puede mostrar dos linealmente independiente de secuencias (basta comprobar en los subíndices $0,1$) luego tengo otra base.

MARTES. Nota del comentario anterior: si yo tuviera un problema con la repetición de una raíz, algunas constantes $\beta$ y secuencias de problemas $$ z_{n+2} - 2 \beta z_{n+1} + \beta^2 z_n = 0, $$ my characteristic equation would be $$ \lambda^2 - 2 \beta \lambda + \beta^2 = (\lambda - \beta)^2 = 0. $$ A basis, of two sequences is $\{\beta^n, \; n \, \beta^n \}$ so that any specific solution is $$ z_n = B \, \beta^n + C \, n \, \beta^n. $$ vale la pena comprobar que ambas secuencias en mi base realmente funcionan!