Demostrar que $ f:(a,b)\to\mathbb{R}$ es integrable iff $\lim_{\epsilon\to0} \int_{[a+\epsilon,b-\epsilon]}f$ existe

Question

Quiero resolver lo siguiente:

Deje $ f:(a,b)\to\mathbb{R}$ continua tal que $f(x)\ge 0 $ todos los $x\in(a,b)$. Mostrar que $f$ es integrable iff $\displaystyle \lim_{\epsilon\to0} \int_{[a+\epsilon,b-\epsilon]}f$ existe

Mi intento:

$\Leftarrow]$ Quiero invocar la siguiente proposición:

Si $A$ es abierto y acotado, y $f:A\to\mathbb{R}$ es limitada y su conjunto de discontinuidades es de medida cero, entonces $f$ es integrable.

Y tenemos que $(a,b)$ está delimitada por el rectángulo en una dimensión $[a,b]$ y desde $f$ es continua, tenemos que a es acotado en $(a,b)$, pero la cosa es que este argumento no necesita de el límite, ¿me Pueden ayudar a solucionar esto por favor?

$\Rightarrow]$ Si $f$ es integrable, entonces tenemos que:

$\sum_{\phi \in F} \phi f \to \int_{(a,b)} f = \displaystyle \lim_{\epsilon\to0} \int_{[a+\epsilon,b-\epsilon]}f$

Pero creo que esto es un poco trivial y creo que me he equivocado, me Puedes ayudar para comprobar esto, y si es malo me Puede ayudar a arreglar los errores plaese?

Muchas gracias de antemano :)

Answer 1

La clave está en que $f(x) \geq 0$. Si usted no tiene esto, no es cierto:

$\int_{-1}^1 \frac{x}{1-x^2}\, dx$ no existe (cada asíntota va como $1/x$ cerca de $0$), pero $\int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon} \frac{x}{1-x^2}\, dx = 0$ todos los $0 < \epsilon < 1$ debido a que la función es impar.

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Tenga en cuenta que usted no puede asumir $f$ es acotado, o que se extiende continuamente a $[a,b]$. La definición habitual de la integral de Riemann sólo se aplica a acotada de funciones en intervalos cerrados, por lo que en este caso estamos buscando a un integrante de la cual es potencialmente inadecuada en $a$ y a las $b$. Tenemos que $f$ es continua en a $(a,b)$, por lo que es integrable en cualquier cerrada subinterval de $(a,b)$.

Una definición de $\int_a^b f(x)\, dx$ para las integrales que son incorrectas en $a$ y a las $b$ (sólo) sería, la elección de algunas $c \in (a,b)$:

$\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{t\rightarrow a^+} \int_t^c f(x)\, dx$ + $\lim_{s \rightarrow b^-} \int_c^s f(x)\, dx$ $\qquad(*)$

El reclamo es que cada uno de esos límites existe siempre que $f(x) \geq 0$ $\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+} \int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon} f(x)\, dx$ existe. Llame integral $I(\epsilon) = \int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon} f(x)\, dx$.

Debido a $f(x) \geq 0$, $I(\epsilon)$ aumento de la $\epsilon$ disminuye. Por lo tanto, el límite de $\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+} I(\epsilon)$ existe si y sólo si el conjunto de valores de $\{I(\epsilon): \epsilon > 0\}$ es acotado, en cuyo caso el límite es el supremum de estos valores.

Entonces rápidamente se deduce que si esto es cierto, entonces cada uno de los límites anteriormente en la ecuación de $(*)$ existen porque ellos, también, están delimitadas y aumentar como $t$ disminuye y como $s$ aumenta.

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No tengo Spivak en la mano, y no estoy seguro de cuál de las definiciones de él (y por lo tanto, usted) están utilizando, pero usted debería ser capaz de dar una prueba más o menos equivalente a la anterior con independencia de las definiciones que usted tiene.