La prueba de una identidad para $\sum_{m,n\in\mathbb{Z}_{>0}}\frac{\gcd(m,n)^r}{m^sn^t}$.

Question

Mi tarea es demostrar la conocida identidad

Aquí todas las variables son números enteros positivos

Sólo sé que debo usar mobius inversión de la fórmula, sino de cómo proceder, me estoy poniendo de confusión, por favor alguno me puede ayudar en esto, y no hay ningún artículo que muestra las aplicaciones de mobius inversión de la fórmula.

Answer 1

$$\begin{aligned}\sum_{m,n} \frac{(m,n)^r}{m^s n^t} &= \sum_{d=1}^\infty \sum_{(m,n) = d} \frac{(m,n)^r}{m^s n^t} \\ &=\sum_{d=1}^\infty \sum_{(m,n) = 1} \frac{d^r}{(dm)^s (dn)^t} \\ &=\zeta(s+t-r) \sum_{(m,n) = 1} \frac{1}{m^s n^t} \end{aligned}$$ Deje $$A_d = \sum_{(m,n) = d} \frac{1}{m^s n^t} $$ Tenga en cuenta que $$\sum_{r|d} A_d = \frac{1}{r^{s+t}}\zeta(s)\zeta(t)$$ Por lo tanto, $$A_1 = \sum_{r=1}^\infty \mu(r) \sum_{r|d} A_d = \zeta(s)\zeta(t) \sum_{r=1}^\infty \frac{\mu(r)}{r^{s+t}} = \frac{\zeta(s)\zeta(t)}{\zeta(s+t)}$$ completar la prueba.