Elementales De Teoría De Grupos, Los Teoremas De Sylow

Question

Así que es tiempo para mí para publicar otra primaria cuestión. He estado atrapado en este ejercicio durante bastante tiempo ahora, y realmente no puede encontrar una solución satisfactoria para este. La sección sobre las aplicaciones de los teoremas de Sylow en mi libro es conciso, y tal vez hay algún hecho trivial de que me estoy perdiendo.

Si $G$ es un grupo de orden de los 60 que tiene un normal Sylow 3-subgrupo, demostrar que $G$ también tiene un normal Sylow 5-subgrupo.

Intentos: Voy a denotar el conjunto de Sylow $p$-subgrupos por $S_p$ y el normal Sylow 3-subgrupo por $N$. Por los Teoremas de Sylow, sabemos que $|S_5| = 1$ o $6$. En el primer caso, Sylow 5-subgrupo debe ser normal, así que he tratado de asumir que $|S_5| = 6$ y de alguna manera derivar una contradicción. Desde $N$ es normal en $G$, cociente grupo $G/N$ existe, y debe tener un orden 20. La función $f: G \rightarrow G/N$ es entonces nuestra homomorphism entre el $G$ y es el cociente de grupo. Por la inspección ordinaria y contando argumentos podemos ver que $|S_5| = 1$$G/N$, por lo que sólo hay cuatro elementos (cosets) de la orden de 5 en $G/N$. Suponiendo que $|S_5| = 6$, luego tenemos 24 elementos de orden 5 en $G$. A continuación, $f$ se debe asignar a un coset que el fin es la división de la orden de 5, pero eso es sólo 1 o 5. Debido a que el índice de $N$ $G$ es de 20, obtenemos que hay 3 elementos en cada coset. A continuación, se habría espacio para que en la mayoría de los 15 elementos en los cosets de la orden de 1 o 5 en $G/N$, sin embargo, por supuesto, $G$ 24 elementos de orden 5.

Estoy en el camino correcto? Hay una forma trivial para demostrar esto? No he tenido mayores problemas con otros ejercicios que rodea a este uno, así que supongo que podría ser una forma trivial de la prueba de esto.

Intento 2: Si $N$ es el normal de Sylow 3-subgrupo, a continuación, $G/N$ existe y se estableció que existe una normal de Sylow 5-subgrupo $T$$G/N$. Por el teorema de la Correspondencia $T$ es en la forma $H/N$ donde $H$ es un subgrupo de $G$ contiene $N$. Desde $|H| = |H/N||N|$, deduzco $|H|=15$. Desde $H/N$ es normal, cociente $(G/N)/(H/N)$ existe y es por el tercer teorema de isomorfismo isomorfo a $G/H$. Así que si $G/H$ existe, $H$ debe ser normal de $G$. Vemos, pues $|H| = 15$, que contiene un único normal de Sylow 5-subgrupo. Ahora bien, desde la Sylow 5-subgrupo estoy buscando es la contenida en el subgrupo normal $H$, el número de Sylow de 5 subgrupos de $H$ debe ser la misma en $G$, por el Segundo Teorema de Sylow y la normalidad de $H$. Yo esta la solución correcta?

edit: en Realidad creo que he cometido un error en la cursiva parte. $(G/N)/(H/N)$ ciertamente existe, pero no necesita ser isomorfo a $G/H$ (?). El teorema he usado asume la normalidad de H, así que terminan en la lógica circular.

Answer 1

Creo que hay un problema con su solución en la que parece suponer que los elementos de orden $n$ $G/N$ levante siempre a elementos de orden $n$$G$. Sin embargo, eso no es cierto en general. Lo que tienes es que si $gN$ orden $n$$G/N$, $g$ es de orden divisible por $n$ y dividiendo $n|N|$.

Aquí es una sugerencia para un enfoque alternativo:

1. En primer lugar demostrar que los elementos de orden 3 conmuta con elementos de orden 5. De hecho, si $g$ tiene orden 3 $h$ es de orden 5, a continuación, $\langle g\rangle$ normal, $hgh^{-1}$ es $g$ o $g^2=g^{-1}$. Si es esto último, entonces, ¿qué es $h^5gh^{-5}$?... Contradicción (ejercicio), por lo $gh = hg$.

2. Ahora, ¿qué tiene que decirnos acerca de la orden de $gh$?

3. Como usted ha observado, el número de Sylow de 5 subgrupos parece disminuir a medida que pasan de$G$$G/N$, es decir, dos de estos grupos debe ser igual "modulo $N=\langle g\rangle$". Utilice El Paso 2. para derivar una contradicción (¿qué significa para los dos grupos cíclicos a ser igual en el cociente?).

Answer 2

Un enfoque alternativo a lo que Alex estaba sugiriendo, es echar un vistazo al producto $H := SN$ $5$- subgrupo de Sylow $S$ $G$ y el normal $3$-subgrupo de Sylow $N$$G$. Como $N$ es normal, $H$ es un subgrupo de $G$.

Cuántas $5$-subgrupos de Sylow no $H$? ¿Que te dice esto acerca de la normalizador de la $S$ $H$ rsp. en $G$?