Convergencia uniforme de secuencia de la función necesario para la conmutación de los límites de

Question

Si una secuencia de la función $f_n(x)$ converge a $f(x)$ uniformemente, sabemos que tenemos $$\lim_{t\to x}\lim_{n\to\infty}f_n(t)=\lim_{n\to\infty}\lim_{t\to x}f_n(t)$$

Mi pregunta es: Es uniformemente la convergencia necesaria para que el de arriba para sostener?

Answer 1

Convergencia uniforme no es necesario, considerar por ejemplo,$f_n(t)=t^n$$x=0$.

Sin embargo, si $f_n$ no converge uniformemente a $f$, todavía puede haber algunos $x$, por lo que la igualdad no lleva a cabo, por ejemplo, el mismo ejemplo anterior con $x=1$.

Answer 2

Supongamos que en $[0,1]$ establecer $f_n(t) = nt(1-t)^n.$ $f_n(t) \to 0$ pointwise en $[0,1].$ Deje $x=0.$

$$\lim_{t\to x}\lim_{n\to\infty}f_n(t)=\lim_{n\to\infty}\lim_{t\to x}f_n(t).$$

Pero desde $f_n(1/n) = (1-1/n)^n \to 1/e, \,f_n$ no converge uniformemente a $0$ en todos los $[0,\delta].$