Las primeras potencias, los patrones similares a $\lbrace 0,1,0,2,0,1,0,3\ldots \rbrace$ y fórmulas para $\sigma_k(n)$

Question

Hace algún tiempo, al descomponer los números naturales, $\mathbb{N}$ En los poderes primarios noté un patrón en sus poderes. Tomando, por ejemplo, los números $\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 \rbrace$ y los factorizamos, obtendremos $$\begin{align} 1&=2^0\times 3^0\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 2&=2^1\times 3^0\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\3&=2^0\times 3^1\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 4&=2^2\times 3^0\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 5&=2^0\times 3^0\times 5^1\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 6&=2^1\times 3^1\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 7&=2^0\times 3^0\times 5^0\times 7^1\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 8&=2^3\times 3^0\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 9&=2^0\times 3^2\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 10&=2^1\times 3^0\times 5^1\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 11&=2^0\times 3^0\times 5^0\times 7^0\times 11^1\times 13^0\times\ldots \\ 12&=2^2\times 3^1\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 13&=2^0\times 3^0\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^1\times\ldots \\ 14&=2^1\times 3^0\times 5^0\times 7^1\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 15&=2^0\times 3^1\times 5^1\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\ 16&=2^4\times 3^0\times 5^0\times 7^0\times 11^0\times 13^0\times\ldots \\\end{align}$$ Ahora bien, si miramos los poderes de $2$ nos daremos cuenta de que son $$\lbrace f_2(n)\rbrace=\lbrace 0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4\rbrace$$ y para los poderes de $3$ tenemos $$\lbrace f_3(n)\rbrace=\lbrace 0,0,1,0,0,1,0,0,2,0,0,1,0,0,1,0\rbrace$$ Esto, por supuesto, es un hecho bien conocido.

Desde entonces me pregunté si había una fórmula para $f_2(n)$ o $f_3(n)$ o $f_p(n)$ con $p\in \mathbb{P}$ . Parecía imposible, pero fui capaz de idear las fórmulas adecuadas. Son las siguientes $$\displaystyle\begin{align} f_2(n)=\sum_{r=1}^{\infty}\frac{r}{{2^{r+1}}}\sum_{k=0}^{2^{r+1}-1}\cos\left( \frac{2k\pi(n+2^{r})}{2^{r+1}} \right)\end{align}$$ y para el caso general tenemos $$\displaystyle f_p(n)=\sum_{r=1}^{\infty}\frac{r}{p^{r+1}}\sum_{j=1}^{p-1}\left(\sum_{k=0}^{p^{r+1}-1}\cos\left( \frac{2k\pi(n+(p-j)p^{r})}{p^{r+1}} \right)\right)$$ Si uno se preocupa de analizar la fórmula de $f_p(n)$ se puede concluir que no es necesario restringirlo a los números primos, por lo que tenemos $f_m(n), m \in \mathbb{N}$ y patrones similares para $\lbrace f_m(n)\rbrace$ se producirá. Ahora, lo maravilloso es que podemos expresar la funciones de divisor aritmético $\sigma_k(n)$ en términos de $f_m(n)$ como sigue $$\displaystyle \sigma_a(n)=1+\sum_{m=2}^{\infty}\sum_{r=1}^{\infty}\frac{m^{a}}{m^{r+1}}\sum_{j=1}^{m-1}\left(\sum_{k=0}^{m^{r+1}-1}\cos\left( \frac{2k\pi(n+(m-j)m^{r})}{m^{r+1}} \right)\right)$$ Y, si consideramos la función sumatoria del divisor , $D(n)$ , como $$D(n)=\sum_{m \leq n}d(m)$$ con $$d(n)=\sigma_{0}(n)=\sum_{d|n}1$$ podemos expresar $D(n)$ como $$D(n)=\sum_{m=2}^{\infty}\sum_{r=1}^{\infty}\frac{r}{m^{r+1}}\sum_{j=1}^{m-1}\left(\sum_{k=0}^{m^{r+1}-1}\cos\left( \frac{2k\pi(2^{n}+(m-j)m^{r})}{m^{r+1}} \right)\right)$$ Ahora, lo sabemos, $d(n)$ y $D(n)$ están relacionadas con la función zeta de Riemann por $$\zeta^{2}(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)}{n^{z}}$$ y $$\zeta^{2}(z)=z\int_{1}^{\infty}\frac{D(x)}{x^{z+1}}dx$$

Ahora, mis preguntas

• ¿Qué podemos decir sobre la convergencia de $f_m(z)$ , $\sigma_a(z)$ y $D(z)$ con $z \in \mathbb{C}$ ? Podemos ver que convergen para $z \in \mathbb{N}$ .
• Creo que $\sigma_a(z)$ y $D(z)$ son sólo curiosidades y no son interesantes en el contexto de la función zeta de Riemann porque son difíciles de calcular. ¿Qué opinas?
• ¿Son las fórmulas $f_m(z)$ , $\sigma_a(z)$ y $D(z)$ original. Creo que lo son. Me gustaría saber si alguien ha encontrado algo así antes. He publicado esto como respuesta a este hace un tiempo.
• Por último, ¿es esto lo suficientemente interesante como para publicarlo en algún sitio? Sólo soy un aficionado...

Para terminar me gustaría pedir disculpas por presentar todas estas fórmulas sin mostrar cómo las he obtenido, pero puedes considerar este post anterior mío y la pregunta Mayor potencia de dos dividiendo un entero , Suma Infinita Difícil y En el 61, el 62 y el 63 el problema de Smarandache página 38.

Y ahora un reto, ¿puede presentar una fórmula para la función característica de los números primos ?

EDITAR: Respondo a mi reto y dejo otro. Teniendo en cuenta que el función característica de los primos , $u(n)$ viene dada por

$$ \begin{equation} u(n)=\begin{cases} &1\;\;\;\text{ if } n \in \mathbb{P} \\ &\\ &\\ &0\;\;\;\text{ if } n \notin \mathbb{P} \end{cases} \end{equation} $$

He descubierto que $u(n)$ viene dada por la siguiente fórmula

$$ \begin{equation} u(n)=\prod_{m=2}^{\infty}\;\;\prod _{r=1}^{\infty} \left\{1-\frac{1}{m^{r+1}} \sum _{j=1}^{m-1}\;\;\;\sum _{k=0}^{m^{r+1}-1} \cos\left(2 k \pi \cdot\frac{n-m+(m-j) m^r }{m^{r+1}}\right)\right\} \end{equation} $$ Ahora, con el mismo espíritu, ¿cuál es la fórmula para la función de recuento de primas , $\pi(x)$ ?

Answer 1

Deberías echar un vistazo a esto puesto de intercambio de pilas de matemáticas y la respuesta allí, ya que se aplica directamente aquí.

Para una fórmula de $\pi (x)$ puede echar un vistazo a esta página de wikipedia .

Tales fórmulas elementales tienden a codificar algún algoritmo complejo que comprobaría el resultado, y evaluaría la función. Normalmente no tienen demasiado interés porque:

(1) Cualquier análisis es muy difícil, y la gente no suele ser capaz de utilizar esas fórmulas para demostrar teoremas sobre los primos o $\sigma(n)$ (2) La evaluación de la serie lleva más tiempo que otros métodos computacionales conocidos para $\sigma(n)$ o $\pi(x)$ . (3) No nos dicen nada sobre la naturaleza de las funciones en cuestión, ya que simplemente codifican un algoritmo que calcula esas funciones. Estudiar el algoritmo sería más fructífero que las series para una mayor comprensión. (4) Parece que hay muchas de estas series.

Por ejemplo, la fórmula de $\pi(x)$ ,

$$\pi(k) = k - 1 + \sum_{j=1}^k \left\lfloor {2 \over j} \left(1 + \sum_{s=1}^{\left\lfloor\sqrt{j}\right\rfloor} \left(\left\lfloor{ j-1 \over s}\right\rfloor - \left\lfloor{j \over s}\right\rfloor\right) \right)\right\rfloor$$

es una codificación de la Criba de Eratóstenes, que es más interesante y fácil de entender cuando se mira por sí misma. De hecho, la idea que subyace en el tamiz puede explicarse a un estudiante de secundaria, pero tratar de entender la fórmula anterior sin haberla visto convertida podría intimidar a muchos estudiantes de grado o de posgrado fuertes.

También tenemos la fórmula del $n^{th}$ número primo:

$$p_n = 1 + \sum_{k=1}^{2(\lfloor n \ln(n)\rfloor+1)} \left(1 - \left\lfloor{\frac{1}{n}\left(k - 1 + \sum_{j=1}^k \left\lfloor {2 \over j} \left(1 + \sum_{s=1}^{\left\lfloor\sqrt{j}\right\rfloor} \left(\left\lfloor{ j-1 \over s}\right\rfloor - \left\lfloor{j \over s}\right\rfloor\right) \right)\right\rfloor\right)} \right\rfloor\right)$$

Dicho todo esto, sigo pensando que es bastante interesante que hayas conseguido descubrir estas fórmulas. Te animo a que las escribas y expliques las ideas que hay detrás de su corrección. (También, tal vez, tener algunos cálculos que verifiquen las fórmulas para reconfortar al lector). Alguien podría haber estado buscando exactamente estas fórmulas, y ayuda a otros a saber que existen. Además, tal vez las ideas que se encuentran en sus fórmulas son más profundas que lo que he descrito anteriormente.

Answer 2

Estas fórmulas son enrevesadas y lo que me parece son representaciones probablemente inútiles del orden p-ádico de un número entero. Todo lo que parecen haber hecho es aprovechar el hecho de que $$1_{p^j\mid n}=\frac{1}{p^j}\sum_{t=0}^{p^j-1}e^{2\pi i t\frac{n}{p^j}}$$ Y luego lo reescribió sin la parte imaginaria de cada raíz de la unidad, por lo que obtuvo una suma de cosenos, y luego sumó sobre las potencias en $j$ para que cuente los múltiplos $p$ de un número entero dado, que has dado como una suma doble compleja. Además dudo que esto sea de alguna utilidad en un contexto computacional, ya que: $$v_p(n)=\gcd(p^{\lfloor \log_p(n) \rfloor},n)$$ Que se puede calcular muy rápidamente utilizando el algoritmo euclidiano.

Además, para que veas que no es difícil obtener resultados sobre esta función: $$\frac{\zeta(s)}{p^s-1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{v_p(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac{f_p(n)}{n^s}$$ $$\sum_{k=1}^n v_p(k)=\sum_{k=1}^nf_p(k)=\sum_{j=1}^{\lfloor \log_p(n) \rfloor}\lfloor \frac{n}{p^j} \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^np^{v_p(k)}=\sum_{k=1}^np^{f_p(k)}=n+(1-\frac{1}{p})\sum_{j=1}^{\lfloor \log_p(n) \rfloor}p^j\lfloor \frac{n}{p^j} \rfloor$$ Y en general si definimos para un primo fijo $p$ y una función arbitraria $g$ la función $\delta_p$ : $$ \delta_p(k) \stackrel{}{=} \begin{cases} g(j)-g(j-1) & \text{if } k = p^j \text{ with } j\ge 1, \\ g(0) & \text{if } k=1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

De modo que $\sum_{d\mid k}\delta_p(d)=g(v_p(k))=g(f_p(k))$

Entonces tenemos para funciones arbitrarias $g$ y $h$ :

$$\sum_{k=1}^ng(f_p(k))h(k)=\sum_{k=1}^n(\sum_{d\mid k}\delta_p(d))h(k)=\sum_{k=1}^n\delta_p(k)\sum_{m=1}^{\lfloor n/k\rfloor}h(mk)$$

$$=g(0)\sum_{m=1}^nh(m)+\sum_{j=1}^{\lfloor \log_p(n) \rfloor}(g(j)-g(j-1))\sum_{m=1}^{\lfloor n/p^j \rfloor}h(mp^j)$$ Donde el índice superior $n$ en esta suma se ha simplificado a una suma con un índice superior de $O(\ln(n))$ permitiendo así cualquier tipo de suma evolucionando el orden p-ádico o como se está refiriendo con la función $f_p$ para ser calculado en un tiempo exponencialmente más rápido que las sumas que se utilizan sólo para representar un valor de $f_p$ .

Así que no diría que sus fórmulas son originales, ni tampoco que son muy prácticas. Aunque para lo que valga mi opinión (probablemente no mucho) diría que, a pesar de ello, es estupendo que estés explorando y encontrando cosas nuevas que te interesan.