Probar$ax - x\log(x)$ es convexo?

Question

¿Cómo probar que una función como$ax - x\log(x)$ es convexa? La definición no parece funcionar fácilmente debido a la no linealidad de la función de registro.

¿Algunas ideas?

Answer 1

La respuesta es bastante fácil si el uso de derivados, así que aquí está uno que no las usan. Tenga en cuenta que para una función continua $f:P\to\mathbb{R}$, es suficiente para que se satisface la desigualdad:

$$f\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\geqslant \frac{f(x)}{2}+\frac{f(y)}{2}$$

para todos los $x,y\in{P}$ a ser cóncava.

Por el AM-GM de la desigualdad, tenemos $\frac{x+y}{2}>\sqrt{xy}$$x\ne{y}$. Por lo tanto, para su función, tenemos:

$$\frac{ax+ay}{2}-\ln\frac{x+y}{2}>\frac{ax+ay}{2}-\ln\sqrt{xy}=\frac{ax+ay}{2}-\frac{1}{2}\ln{xy}=\left(\frac{ax-\ln{x}}{2}\right)+\left(\frac{ay-\ln{y}}{2}\right)$$

EDIT: De hecho, ya que en nuestro caso, la desigualdad es estricta, su función es estrictamente cóncava.

Answer 2

La diferenciación de dos veces, obtenemos $$\frac{d^2}{dx^2}x\log(x) = \frac{1}{x}$$ La segunda derivada es estrictamente positiva en todas partes de la función está definida, por lo $x\log(x)$ es estrictamente convexa.

Esto implica que $ax - x\log(x)$ es estrictamente cóncava.