$X$ Hausdorff compacto con$X=X_1\cup X_2$. Si$X_1,X_2$ está cerrado y es metrizable, muestra que$X$ es metrizable.

Question

Este es el Ejercicio 9 de la Sección 34 de Munkres - Topología. Siguiendo la sugerencia, he hecho lo siguiente:Puesto que la $X$ es compacto, $X_1,X_2$, compacto y metrizable y por lo tanto tienen contables bases. Vamos $\mathscr B_1$,$\mathscr B_2$ ser contables de las colecciones de bloques abiertos en $X$ tal que $\{B\cap X_1:B\in\mathscr B_1\},\{B\cap X_2:B\in\mathscr B_2\}$ son bases para $X_1,X_2$ respectivamente. Ahora vamos a $$\mathscr A=\{X_1\setminus X_2,X_2\setminus X_1\}\cup\mathscr B_1\cup\mathscr B_2.$$

La idea, según lo sugerido por la sugerencia, es mostrar que la $\mathscr A$ es un subbasis para la topología en $X$.

Deje $U\subseteq X$ ser abierto, y $x\in U$. Si $x\in U\cap(X_1\setminus X_2)$, entonces no es un $B\in\mathscr B_1$ tal que $x\in U\cap B\cap(X_1\setminus X_2)$. Para $x\in U\cap(X_2\setminus X_1)$ no es un porcentaje ( $B\in\mathscr B_2$ $x\in U\cap B\cap (X_2\setminus X_1)$.

Estoy atascado al $x\in U\cap X_1\cap X_2$. Recogiendo $B_1\in\mathscr B_1,B_2\in\mathscr B_2$ tal que $B_1\cap X_1\subseteq U\cap X_1$$B_2\cap X_2\subseteq U\cap X_2$, no garantiza que $B_1\cap B_2\subseteq U$.

Answer 1

Usa el hecho de que$X = X_1 \cup X_2$. Tomar $y \in B_1 \cap B_2$. Luego$y \in X_i$ para algunos$i \in \{1,2\}$. Pero entonces $y \in B_i \cap X_i \subseteq U \cap X_i \subseteq U$. Así que en realidad$B_1 \cap B_2 \subseteq U$.

Answer 2

No una respuesta a la pregunta que apareció en su prueba, pero otro intento.

Desde $X_i$ están cerrados, son compactos. Se metrizable, ambos son separables. Por lo que su unión $X$ es separable. Ay, que puede no ser suficiente: existen compacto separables espacios que no son metrizable.

Ahora, tanto en $X_1$ $X_2$ son metrizable, por lo que han contables. Por lo que sus discontinuo de la unión de $X_1 \sqcup X_2$ ha contables de base, por lo que es un compacto metrizable espacio. Ahora $X = X_1 \cup X_2$ es una imagen de $X_1 \sqcup X_2$. Ahora es el caso de que una imagen de un compacto metrizable espacio es compacto metrizable. Esto se deduce del hecho de que $X$ es metrizable si y sólo si $C(X)$ es separable. Si $Y\to X$ es surjective (compacto), a continuación,$C(X) \subset C(Y)$. Si $Y$ es metrizable, a continuación, $C(Y)$ es separable, por lo $C(X)$ es divisible y por lo $X$ es metrizable.