Medibilidad de Borel de un conjunto en el que se produce la convergencia

Question

Dejemos que $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ sea una función medible conjuntamente de Borel. Me pregunto si el conjunto $$\left\{x\in\mathbb R\,\bigg|\,\lim_{y\to0}F(x,y)=0\right\}$$ es medible por Borel.

La principal dificultad es que, aunque el conjunto $$\left\{x\in\mathbb R\,\bigg|\,\lim_{n\to\infty}F(x,y_n)=0\right\}$$ es medible por Borel para un dado secuencia $(y_n)_{n\in\mathbb N}$  convergiendo a $0$ Esto debe ser válido para todos, innumerables , tales secuencias. Por lo tanto, tomar las intersecciones no ayuda.

Cualquier aportación será muy apreciada.

Answer 1

Existe un conjunto de Borel $A$ en el plano, cuya proyección en el $x$ -eje no es Borel. (Una observación de Souslin.) Utilizamos esto para construir un contraejemplo.

Podemos suponer que nuestro conjunto $A$ está en un cuadrado $[0,1]\times[0,1]$ . Su proyección $$ p(A) = \{ x \in \mathbb R: \exists y, (x,y) \in A\} $$ no es Borel.

Construir un nuevo conjunto $$ B = \bigcup_{n=1}^\infty A_n $$ donde $A_n$ es la imagen afín de $A$ en el rectángulo $[0,1]\times[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ . (La imagen de $A$ bajo el mapa afín $(x,y) \mapsto (x,\frac{1}{n+1}+\frac{y}{n(n+1)})$ .) Entonces $B$ es una unión contable de conjuntos de Borel, por lo que $B$ es un conjunto de Borel en el plano. Sea $F$ sea el indicador de $B$ para que $F(x,y) = 1$ si $(x,y) \in B$ y $F(x,y)=0$ de lo contrario. Dado que $B$ es un conjunto de Borel, $F$ es una función de Borel. Entonces $$ \{x : \lim_{y\to 0} F(x,y) = 0\} = \mathbb R \setminus p(A) $$ no es un conjunto de Borel.