¿Hay una manera de describir estas compactaciones algebraicamente?

Question

Es conocida la correspondencia entre localmente compacto Hausdorff espacios y conmutativa la C* álgebras, en la que el homoemorphism clase de espacios se asigna uno-a-uno para el isomorfismo de la clase de conmutativa la C* álgebras a través de $X\mapsto C_0(X)$.

Espacios compactos corresponden a unital álgebras, y compactification procedimientos como un punto de compactification o de Stone-Cech compactification a unitisation procedimientos como el de la vecina de la unidad de $A\mapsto A\oplus\Bbb C1$ y pasando a los multiplicadores de álgebra.

Supongamos que uno tiene un limitado y abierto subconjunto $U$ algunos $\Bbb R^n$. El cierre de la $\overline{U}$ luego será un compactification de $U$, y por eso $C(\overline U)$ será un unitisation.

Es allí una manera de describir cómo este unitisation trabaja en el álgebra de nivel? Específicamente, ¿cómo se puede distinguir de unitisations que no permiten una integración en $\Bbb R^n$?

Como un ejemplo de la $U=(0,1)$ el cierre de la $[0,1]$ es un dos-punto compactification y nos tocan dos elementos para el álgebra, la cual podemos ver por ejemplo como las funciones positivas $x$$1-x$, añadiendo da unidad.

Answer 1

Aquí la cosa más cercana a lo que usted nos está pidiendo que se me ocurre. Si $X$ es un compacto Hausdorff espacio, a continuación, $X$ incrusta en $\mathbb{R}^n$ algunos $n$ fib $C(X)$ es finitely generado como un $C^*$-álgebra. De hecho, si $X$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$, entonces las coordenadas de las proyecciones de generar $C(X)$ (como unital $C^*$-álgebra) por Stone-Weierstrass. Por el contrario, si $C(X)$ es generado por un número finito de funciones $f_1,\dots,f_n:X\to\mathbb{C}$, que en conjunto dan un mapa de la $f:X\to \mathbb{C}^n$. Puesto que el $f_i$ deben trabajar conjuntamente los puntos separados, $f$ es inyectiva, y así desde $X$ es compacto es una incrustación.

Por lo tanto, si $X$ es sólo localmente compacto Hausdorff, compactifications de $X$ que provienen de incrustaciones de $X$ como un subconjunto acotado de $\mathbb{R}^n$ corresponden a unitizations de $C_0(X)$ cuales son finitely generado como $C^*$-álgebras.