Subgrupos $G,H \subseteq\mathrm {Sym}(X)$ pueden ser isomórficas y tener diferentes tamaños de órbita.
Por ejemplo, dados dos multisets infinitos cualesquiera $\{ \lambda_1 , \lambda_2 , \cdots\ }$ y $\{ \mu_1 , \mu_2 , \cdots\ }$ de naturales se pueden crear las correspondientes permutaciones $ \pi $ y $ \sigma $ con esos tipos de ciclos. Si uno los elige de manera que un multiset tiene un valor $n$ que el otro no tiene, y sin embargo ambos tienen infinito $ \mathrm {lcm}$ s, entonces $G= \langle \pi\rangle $ y $H= \langle\sigma\rangle $ será isomorfa pero tendrá una órbita de tamaño $n$ y el otro no lo hará.
En términos más generales, dado que dos $G$ -sets $X,Y$ del mismo tamaño pero con diferentes tamaños de órbita, podemos bijectarlos y tratarlos como dos acciones diferentes de $G$ en $X$ en cuyo caso obtenemos copias isomórficas de $G$ dentro de $ \mathrm {Sym}(X)$ que tienen diferentes tamaños de órbita. Cuando sea posible, una forma de conseguir $X$ y $Y$ está eligiendo un subgrupo apropiado $H$ con $[G:H]<|G|$ y luego el ajuste $X=H \times G/H$ y $Y=G$ para que $G$ actúa trivialmente en $H$ para dar sentido a $X$ y actúa regularmente sobre $Y$ .
Por supuesto que si $G$ y $H$ son conjugar tendrán el mismo conjunto de tamaños de órbita.
