Encuentra el valor de$\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}$
Mi acercamiento :
Solía $\sin A +\sin B = 2\sin(A+B)/2\times\cos(A-B)/2 $
$\Rightarrow \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7} = 2\sin(3\pi)/7\times\cos(\pi/7)+\sin(8\pi/7) $
$= 2\sin(3\pi)/7\times\cos(\pi/7)+\sin(\pi + \pi/7) $
$= 2\sin(3\pi)/7\times\cos(\pi/7)-\sin(\pi/7) $
No recibo ninguna pista de cómo proceder más o si es correcto o no. Por favor ayuda gracias ..
Usted puede evaluar esto mediante el uso de métodos complejos.
Deje $\alpha=e^{2\pi i/7}$. Entonces $$\sin\frac{2\pi}{7}=\frac{\alpha\alpha^{-1}}{2}\ ,\quad \sin\frac{4\pi}{7}=\frac{\alpha^2-\alpha^{-2}}{2}\ ,\quad \sin\frac{8\pi}{7}=\frac{\alpha^4-\alpha^{-4}}{2}\ .$$ Ahora vamos a $S$ ser la suma de estos tres números. Escribir $S$ en términos de potencias de $\alpha$ y calcular el $S^2$. Al principio es un lío, pero puede utilizar las relaciones $$\alpha^7=1\quad\hbox{and}\quad \alpha^6+\alpha^5+\cdots+\alpha=-1$$ para mostrar que simplifica, sorprendentemente, para $$S^2=\frac{7}{4}\ .$$ No es difícil ver que $S$ es positivo, por lo $$S=\frac{\sqrt7}{2}\ .$$
Comentario. También se puede escribir como la suma $$S=\frac{1}{2i}\sum_{k=1}^6 \Bigl(\frac{k}{7}\Bigr)\alpha^k\ ,$$ donde $(\frac{k}{7})$ es un símbolo de Legendre, y este se conecta a la suma con algo muy interesante y a menudo difícil de las matemáticas.
La idea de esta respuesta es que si se puede introducir un trigonométricas de la suma con argumentos en progresión aritmética, entonces usted tiene una buena fórmula que hace todo el trabajo (ver aquí para la instrucción y dos pruebas).
Vamos
$$S=\sin \frac{2\pi}{7}+\sin \frac{4\pi}{7}+\sin \frac{8\pi}{7}$$
Entonces
$$S^2=\sin^2 \frac{2\pi}{7}+\sin^2 \frac{4\pi}{7}+\sin^2 \frac{8\pi}{7}\\ +2\sin \frac{2\pi}{7}\sin \frac{4\pi}{7}+2\sin \frac{2\pi}{7}\sin \frac{8\pi}{7}+2\sin \frac{4\pi}{7}\sin \frac{8\pi}{7}$$
$$S^2=\frac{1-\cos \frac{4\pi}{7}}{2}+\frac{1-\cos \frac{8\pi}{7}}{2}+\frac{1-\cos \frac{16\pi}{7}}{2}+\cos \frac{2\pi}{7}-\cos \frac{6\pi}{7}\\ +\cos \frac{6\pi}{7}-\cos \frac{10\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}-\cos \frac{12\pi}{7}$$
$$S^2=\frac32+\cos \frac{2\pi}{7}+\frac12\cos \frac{4\pi}{7}-\frac12\cos \frac{8\pi}{7}-\cos \frac{10\pi}{7}-\cos \frac{12\pi}{7}-\frac12\cos \frac{16\pi}{7}$$
$$S^2=\frac32+\cos \frac{2\pi}{7}-\frac12\cos \frac{3\pi}{7}+\frac12\cos \frac{\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}-\frac12\cos \frac{2\pi}{7}$$
$$S^2=\frac32+\frac12\cos \frac{\pi}{7}-\frac12\cos \frac{2\pi}{7}+\frac12\cos \frac{3\pi}{7}$$
$$S^2=\frac32-\frac12\left(\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}\right)$$
Y utilizando la siguiente fórmula a partir de esta respuesta, con $n=3, a=b=\frac{2\pi}{7}$:
$$\sum_{k=0}^{n-1} \cos (a+kb) = \frac{\sin \frac{nb}{2}}{\sin \frac{b}{2}} \cos \left( a+ (n-1)\frac{b}{2}\right)$$
$$\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}=\frac{\sin \frac{3\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}=\frac{\sin\frac{7\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}=-\frac12$$
Por lo tanto
$$S^2=\frac32+\frac14=\frac74$$
Y sabemos que $S>0$ debido a que el único término negativo es $\sin\frac{8\pi}{7}=-\sin\frac{\pi}{7}$, e $0<\sin\frac{\pi}{7}<\sin\frac{2\pi}{7}$. Así que finalmente hemos
$$\sin \frac{2\pi}{7}+\sin \frac{4\pi}{7}+\sin \frac{8\pi}{7}=\frac{\sqrt7}{2}$$
Este es mi enfoque, no sólo el uso de la trigonometría básica identidades (he.e, no requiere de los números complejos), así que es bastante largo. Yo estaría encantado si ustedes me puede ayudar a acortar un poco.
$\displaystyle \begin{align*}& \ \cos\left(\frac{2\pi}{7} \right) \cos\left(\frac{4\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{2\pi}{7} \right)\cos\left(\frac{8\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7} \right)\cos\left(\frac{8\pi}{7} \right)\\ = & \ \cos\left(\frac{2\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{6\pi}{7} \right) \\ = & \ \cos\left(\frac{2\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{8\pi}{7} \right)\end{align*}$
Deje $\displaystyle A = \cos\left(\frac{2\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7} \right) + \cos\left(\frac{8\pi}{7} \right)$. Demostrar que $A < 0$, entonces el cuadrado de $A$ y el uso de (1) junto con la Reducción de la Potencia de la Fórmula para demostrar que $A$ es una solución de la ecuación: $\displaystyle X^2 - \frac{5}{2}X - \frac{3}{2} = 0$. Por lo tanto $\displaystyle A = -\frac{1}{2}$.
De nuevo, utilice el Producto a la Fórmula de la Suma de probar que $\displaystyle \sin\left(\frac{2\pi}{7} \right) \sin\left(\frac{4\pi}{7} \right) + \sin\left(\frac{2\pi}{7} \right)\sin\left(\frac{8\pi}{7} \right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7} \right)\sin\left(\frac{8\pi}{7} \right) = 0$.
Deje $\displaystyle B = \sin\left(\frac{2\pi}{7} \right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7} \right) + \sin\left(\frac{8\pi}{7} \right)$. Demostrar que $B > 0$. Utilizando el resultado en (3), tenemos $\displaystyle B^2 = \sin^2\left(\frac{2\pi}{7} \right) + \sin^2\left(\frac{4\pi}{7} \right) + \sin^2\left(\frac{8\pi}{7} \right)$, el uso de Energía de Reducción de la Fórmula, y (2), obtendrá $\displaystyle B^2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} A = \frac{7}{4}$. El hecho de que $B > 0$, tendremos $\displaystyle B = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
Los anteriores son solo tipo de consejos, y usted tendrá que aplicar algunas fórmulas trigonométricas (identidades) para obtener el resultado.
Establecimiento $7\theta=\pi,S=\sin2\theta+\sin4\theta+\sin8\theta=(\sin2\theta+\sin8\theta)+\sin4\theta$
El uso de Prosthaphaeresis Fórmula Y haga Doble ángulo de fórmula,
$S=2\sin5\theta\cos3\theta+2\sin2\theta\cos2\theta$
Como $5\theta=\pi-2\theta,\sin5\theta=\sin2\theta$ y $3\theta=\pi-4\theta,\cos3\theta=-\cos4\theta$
$S=-2\sin2\theta\cos4\theta+2\sin2\theta\cos2\theta=2\sin2\theta(\cos2\theta-\cos4\theta)$
Utilizando de nuevo Prosthaphaeresis Fórmula, $S=2\sin2\theta(2\sin3\theta\sin\theta)$, lo que es claramente $>0$
Pero, $\sin2\theta=\sin(\pi-2\theta)=\sin5\theta;\sin\theta=\sin6\theta;\sin3\theta=\sin4\theta$
$\implies \dfrac S4=+\sqrt{\prod_{r=1}^6\sin r\theta}\ \ \ \ (1)$
Podemos derivar (Ver más abajo) $\sin7x=7\sin x+\cdots-64\sin^7x$
Si $\sin7x=0,7x=n\pi$ donde $n$ es cualquier entero, $x=\dfrac{n\pi}7,0\le n\le6$
Por eso, $\sin\dfrac{n\pi}7,0\le n\le6$ son las raíces de $7\sin x+\cdots-64\sin^7x=0$
Por eso, $\sin\dfrac{n\pi}7,1\le n\le6$ son las raíces de $7+\cdots-64\sin^6x=0\iff64\sin^6x+\cdots-7=0$
El uso de Vieta de la fórmula, $\prod_{r=1}^6\sin r\theta=\dfrac7{64}$
Aplicar esto en $(1)$
Derivación $\#1:$
El uso de de Moivre del Teorema, $\cos7y+i\sin7y=(\cos y+i\sin y)^7$
$=\cdots +i\left(\sin^7y -\binom72\sin^5y\cos^2y+\binom74\sin^3y\cos^4y-\binom76\sin y\cos^6y\right)$
Escrito $\cos^2y=1-\sin^2y$
$\cos7y+i\sin7y=\cdots +i\left(7\sin y-64\sin^7y\right)$
Derivación $\#2:$
El Uso De Prosthaphaeresis Fórmula, $\sin7x+\sin x=2\sin4x\cos3x=2(2\sin2x\cos2x)(4\cos^3x-3\cos x)=4(2\sin x\cos x)(1-2\sin^2x)(4\cos^3x-3\cos x)$
$=8(\sin x-2\sin^3x)\cos^2x(4\cos^2x-1)$
$=8(\sin x-2\sin^3x)(1-\sin^2x)\{4(1-\sin^2x)-1\}$
$=8\sin x+\cdots-64\sin^7x$
$\implies\sin7x=7\sin x+\cdots-64\sin^7x$
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