Estaba tratando de resolver preguntas de "Análisis Matemático" de "Apostol" y me encontré con esta pregunta que dice
"Si $a, b, c$ y $d$ son racionales y si $x$ es irracional, demuestre que $\dfrac{\left( ax + b \right)}{\left( cx + d \right)}$ es generalmente irracional. ""
Ahora, el problema con esto es que cómo podemos probar que algo es ¿suele ser cierto? Lo único que podemos hacer es mostrar algunos casos en los que esto no es cierto. Como en este ejemplo, podemos dar la solución como
La única vez que será racional es cuando el numerador sea algún número entero por el denominador o viceversa. El resto de las veces, cuando no sea así, será irracional.
¿Es esta la forma correcta de prueba o hay alguna otra guerra para probar algo normalmente es cierto ?
Nota: Mi pregunta no consiste en encontrar las posibilidades de que la expresión dada sea racional. La pregunta es sobre cómo demostrar que algo suele ser Verdadero. Porque, por lo que he aprendido de lógica, podemos demostrar que algo es Verdadero (completamente) o Falso (dando sólo un contraejemplo). Entonces, aquí, estoy preguntando que si viene tal afirmación, ¿qué significa probarla? De hecho, he resuelto la pregunta y su solución está escrita en la explicación. Todo lo que quiero saber es que si mi solución es correcta o hay una forma adecuada de demostrar algo generalmente Verdadero?
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¿Puede comprobar qué $x$ es racional.
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Hablando de las declaraciones definidas en $\mathbb{N}$ Decimos que una afirmación suele ser cierta si la afirmación es válida para todos los números naturales excepto para valores finitos. Como aquí se trata de un número irracional (que es incontable), podemos pensar que la afirmación no es cierta para algún subconjunto de un número irracional que tenga medida cero.