¿Topología algebraica en el instituto?

Question

Este invierno tengo previsto impartir un pequeño seminario (20 conferencias de 45 minutos cada una) para estudiantes de secundaria. Se me dio la libertad de elegir el tema del seminario, pero se supone que se trata de algunas matemáticas "avanzadas" en una exposición elemental.

Estaba pensando en dar una conferencia sobre topología algebraica. Quería centrarme en las técnicas algebraicas. Mi idea era presentar algunos objetos básicos (espacios como superficies, gráficos, nudos) y luego tratar de explicar a los estudiantes cómo estudiar esos objetos utilizando el álgebra (algunos invariantes básicos de los nudos, las características de Euler de los gráficos y las superficies, tal vez incluso los grupos fundamentales).

Mi principal problema es: referencias . He empezado a aprender topología sabiendo ya una cantidad decente de análisis y álgebra, así que no conozco muchos libros de topología elemental. El único libro que conozco es el de Prasolov "Topología intuitiva". Es una muy buena introducción a la topología. Pero, por desgracia, no habla mucho del lado algerbaico de la topología, sólo un poco sobre invariantes de nudos. Aparte de eso, no conozco ninguna buena referencia para la topología básica. algebraico topología dirigido a estudiantes avanzados de secundaria.

Para resumir, mis preguntas son:

• ¿Conoce una buena referencia (libros o apuntes) para la algebraico topología accesible para los estudiantes avanzados de secundaria?
• ¿Tal vez puedas sugerir otros temas agradables de topología en los que podría hacer un curso? En este caso, me encantaría que también me sugirieras una referencia apropiada.

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Echa un vistazo a Introducción combinatoria a la topología por Michael Henle. La topología de conjuntos de puntos se hace con suavidad, utiliza métodos combinatorios para evitar algunas pruebas que de otro modo serían complicadas (para obtener el teorema del punto fijo de Brouwer, por ejemplo), y utiliza lo que es esencialmente la homología mod 2 (si no recuerdo mal) para demostrar algunos otros resultados, como el teorema de la curva de Jordan.

Esto no hace exactamente lo que quieres, pero algunas partes pueden ser útiles.

Answer 2

En algún momento, si no ahora, Chinn/Steenrod's Primeros conceptos de topología (disponible gratuitamente aquí ) era probablemente el libro estándar para lo que estás buscando. También puedes consultar el libro de Mitch Struble Estirar un punto y la de Donovan Johnson Topología. La geometría de la lámina de caucho Aunque creo que las conexiones con la topología algebraica son menores en estos libros que en el caso del libro de Chinn/Steenrod.

Answer 3

Eche un vistazo a los artículos, incluido "Cómo hacer una exposición matemática", en mi Divulgación y enseñanza página web. La exposición actual sobre los nudos forma parte de esta página web .

La intención era principalmente utilizar la idea de los nudos para presentar los métodos de las matemáticas a un público general. Véase también este artículo sobre nudos.

He dado clases magistrales a niños de 13 años sobre "geometría esférica" y sobre "dimensiones superiores".

Sólo para añadir un poco de alivio, he añadido en mi página de popularización un enlace a las caricaturas de David Piggins (con el acuerdo de su familia).

Answer 4

Sugiero a William S. Massey, Curso básico de topología algebraica y el teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 2, si no tiene que ser un tema muy original.

Answer 5

Aparte de las sugerencias anteriores, puede echar un vistazo a $"From \ Geometry\ to \ Topology"$ de H.Graham Flegg ( http://www.amazon.com/Geometry-Topology-Dover-Books-Mathematics/dp/0486419614 ) ... contiene muchos temas como la característica de Euler, la idea de los espacios simplemente conectados, la homotopía, la coloración de los grafos, el teorema de la curva de Jordan, etc., y todo ello sin grandes dificultades técnicas.