Est $[0,+\infty)$ cerrado y se puede aplicar el teorema del valor intermedio a las funciones de este dominio?

Question

El Teorema del valor intermedio establece que si $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ es una función continua, entonces $f$ también debe tomar todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ .

$\exp:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ es una función continua y de ella se derivan las funciones $\sin$ y $\cos$ también son funciones continuas.

(Nota: Hasta ahora hemos definido $\cos\text{ and } \sin$ sólo para $\mathbb{R}$ )

Ahora tengo una pregunta sobre una aplicación de este Teorema.

Se utilizó en una prueba que $\cos$ tiene al menos un Punto Cero.

Comienza con la suposición de que no tiene punto cero y luego utiliza el argumento de que $\cos$ es continua en $[0,+\infty]$ + el hecho de que $\cos(0)=1$ y luego hace uso del Teorema del valor intermedio para concluir que $\cos$ no tiene valores negativos. [...]

Pero, ¿por qué podemos utilizar el Teorema aquí, es decir, por qué se cumplen las condiciones para poder utilizarlo?

En primer lugar $+\infty$ ni siquiera está en $\mathbb{R}$ Debo haber cometido un error cuando escribí desde la pizarra, podríamos reformular eso $\cos$ es continua en $[0,+\infty)$ . Pero, ¿cuál es la definición de este intervalo?

¿Por qué es compacto? - Porque de otro modo no podríamos utilizar el Teorema

¿Y por qué implica que $\cos$ es continua en $\mathbb{R^+}$ ?

Answer 1

La función coseno es continua en $[0,+\infty)$ . No es un intervalo compacto, pero no importa. Para cada $b>0$ se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo $[0,b]$ .

Supongamos que existe $b$ tal que $\cos b<0$ entonces la IVT aplicada al intervalo $[0,b]$ nos dice que $\cos c=0$ para algunos $c\in(0,b)$ . Por lo tanto, si $\cos x\ne0$ por cada $x\in[0,+\infty)$ podemos concluir que $\cos x>0$ para cada $x\in[0,+\infty)$ .

El resto de la prueba que está estudiando consiste en derivar una contradicción de $\cos x>0$ por cada $x\ge0$ .