Aplicando una función una cantidad no entera de veces

Question

Tomando el principal registro de un real o un número complejo de un número infinito de veces converge uno de los dos valores en particular en el plano complejo. Estos valores se $-W(-1)^*$ da un valor de la semilla con $\Im(z) \ge 0$, e $-W(-1)$ lo contrario (con $W$ siendo la rama principal de la función W de Lambert.)

Mientras que la convergencia de estos valores parecen "espiral" en torno a este número en una forma que recuerda a ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, la función de la aplicación es un discreto operación, de manera que relacionan los dos podría ser un poco de un fool's errand. Soy consciente de que es posible extender la diferenciación operador de esta manera. Pero que pueden ser específicos de diferenciación, y podría no ser posible con el funcionamiento general de la aplicación.

Así, hay un método para que una función general? ¿Qué acerca de la función específica de registro? Hay una clase de funciones para la que esto funciona?

Answer 1

El caso más simple de la fracción de la iteración es cuando $\,f(x) := c\cdot x\,$ con punto fijo $0$, la convergencia es lineal y que la convergencia del factor de $\,0<c<1.\,$ Luego de que las fracciones de iteración $\,f^{(t)}(x) = c^t\cdot x.\,$ de Complicaciones si $c$ no satisface los límites. Es decir, la exponenciación $\,c^t\,$ es multivalend. El caso general se reduce al caso más sencillo el uso de la conjugación de la composición con el factor de convergencia sigue siendo la primera derivada en el punto fijo. Del mismo modo cuadráticas o de órdenes superiores de la convergencia.

En el ejemplo de $\,f(x):=\log(x),\,$ $\,f(w + x) \approx w + c\,x\,$ donde $\,w\approx 0.318+1.337i\,$ y el factor de convergencia $\, c := f'(w)\,$es $\approx 0.168-0.707i.\,$ Ahora queremos una expansión para $g(x)$ , de modo que $$\log(w+g(x)) = w+g(c\cdot x)$$ , donde la conjugación de la función $g(x)$ tiene un poder de expansión de la serie $$g(x) \approx x + (-0.151 -0.296i)x^2 +(-0.036+0.098i)x^3 + (-.025-0.017i)x^4 + O(x^5).$$

Answer 2

Se llama fracciones de la iteración. Hay documentos que en ella y algunas investigaciones, entre otras cosas, en el dominio de los fractales, pero no es ampliamente conocido tema. Hay algunas restricciones en lo que las propiedades de las funciones. El caso más simple es considerar el comportamiento de una función entre dos puntos estacionarios (cruzan la $f(x)$ e $x$ curvas). En cada una bolita entre dos puntos estacionarios (suponiendo que la función también es monotónica), la fracción de la iteración está bien definido, ya que tiene muy bien comportado de flujo de un punto fijo a otro. Por supuesto, esta operación tiene que satisfacer normas, tales como la $f^{1/2}(f^{1/2}(x))=f(x)$ y así sucesivamente. No sé lo suficiente sobre el tema para decirlo con certeza, pero creo que no hay ninguna norma generalmente aceptada para la computación para una función arbitraria, especialmente no en la forma cerrada (una vez traté de calcular numéricamente para algunos no entera "poderes", con resultados mixtos). Sé que la pregunta puede ser reescrita en términos de Schröder de la ecuación, que se parece más a una normal de la ecuación de preguntar "¿qué pasa si aplicamos una función no entera número de veces".

Esto es también algo relacionado con el concepto de diferenciación fraccional.