Calcula $\int_0^{\infty} \frac {1}{x^{1/3}(1+x^2)}dx$

Question

Calcula $$I=\int_0^{\infty} \frac {1}{x^{1/3}(1+x^2)}dx$$

Mi intento:

$$u=x^{1/3}\implies I = 3\int_0^{\infty}\frac {u}{u^6+1}du=\frac 32\int_0^\infty \frac {1}{u^3+1}du=\frac 32 \int_0^\infty \frac {1}{(x+1)(x^2+x+1)}dx\\\implies I=\frac 32 \int_0^{\infty} \frac 1{x+1}-\frac x{x^2+x+1}dx$$ Y estoy atrapado aquí, ¿qué puedo hacer desde aquí?

Answer 1

Como enfoque alternativo: $$I=\int_0^{\infty} \frac {1}{x^{1/3}(1+x^2)}dx\,\overset{\large x^{2/3}=u}=\,\frac32 \int_0^\infty \frac{1}{u^3+1}du$$ Sustituiremos $\displaystyle{u=\frac{1-t}{1+t}\Rightarrow du=-\frac{2}{(1+t)^2}dt}$ . El motivo es que $(1-t)^3+(1+t)^3=2(3t^2+1)$ Así nos libramos de las terceras potencias. $$\Rightarrow I=\frac32 \int_{-1}^1 \frac{t+1}{3t^2+1}dt=\frac32 \cdot 2\int_0^1 \frac{dt}{3t^2+1}dt=3\cdot \frac{1}{\sqrt 3}\arctan(\sqrt 3 t)\bigg|_0^1=\frac{\pi}{\sqrt 3}$$

Answer 2

Pista. Tomando de su último paso, $$\int\frac x{x^2+x+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{D(x^2+x+1)}{x^2+x+1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(x+1/2)^2+3/4}dx.$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 3

También se utiliza la función Beta, pero de forma diferente.

Recordemos que $$\mathrm{B}(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm dt$$ Utilizando la sustitución $w=\frac{1-t}t$ vemos que $$\mathrm{B}(a,b)=\int_0^\infty\frac{w^{b-1}}{(1+w)^{a+b}}\mathrm dw$$ A continuación, utilizando el sub $w=u^2$ , $$\mathrm{B}(a,b)=2\int_0^\infty\frac{u^{2b-1}}{(1+u^2)^{a+b}}\mathrm du$$ Así que el ajuste $2b-1=-1/3$ y $a+b=1$ vemos que $$\int_0^\infty \frac{\mathrm dx}{x^{1/3}(1+x^2)}=\frac12\mathrm{B}(1/3,2/3)$$

Answer 4

Otro enfoque más.

\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x} (1 + x^2)} &\overset{\large x \mapsto x^{3/2}}=\frac{3}{2} \int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^3}\\ &= \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^3} + \frac{3}{2} \int_1^\infty \frac{dx}{1 + x^3}. \end{align} Ejecución de una sustitución de $x \mapsto 1/x$ en la segunda de las integrales conduce a \begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x} (1 + x^2)} &= \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{1 + x}{1 + x^3} \, dx\\ &= \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dx}{x^2 - x + 1}\\ &= \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dx}{\left (x - \frac{1}{2} \right )^2 + \frac{3}{4}}\\ &= \sqrt{3} \left [\tan^{-1} \left (\frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right ) \right ]_0^1\\ &= \frac{\pi}{\sqrt{3}}. \end{align}

Answer 5

La forma más rápida sería dejar que $x\mapsto\tan x$ y utilizar la función beta $$\begin{align*}\mathfrak{I} & =\int\limits_0^{\pi/2}\mathrm dx\,\tan^{-1/3}x\\ & =\int\limits_0^{\pi/2}\mathrm dx\,\sin^{-1/3}x\cos^{1/3}x\\ & =\frac 12\operatorname{B}\left(\frac 13,\frac 23\right)\end{align*}$$ Una aplicación directa de la fórmula de reflexión de Euler da como resultado $$\int\limits_0^{\infty}\frac {\mathrm dx}{x^{1/3}(1+x^2)}\color{blue}{=\frac {\pi}{\sqrt3}}$$