4 votos

¿Por qué son$(\,f_1,...,f_n)$ linealmente independientes si$\|\,f_k-e_k\|_2<\dfrac{1}{\sqrt n}$, donde$(e_k)$ es una base ortonormal?

Deje $(e_1,...,e_n)$ ser un orthonomal base y $(\,f_1,...,f_n)$ vectores tales que $\|f_k-e_k\|_2<\dfrac{1}{\sqrt n}\,\forall k\,$.
Me gustaría mostrar que $(\,f_1,...,f_n)$ son linealmente independientes.

No sé por dónde empezar:
Traté de ver lo que sucede, por $n=2$ , pero, debido a $(\,f_1,f_2)$ son dos vectores diferentes, son linealmente independientes, y no ayuda a ver lo que sucede en una dimensión superior.

Es fácil ver que la $f_i$ son distintos porque son separados en bolas.

También traté de elevar al cuadrado de la relación, pero no he encontrado nada.

5voto

AlanSE Puntos 183

Si el $f_k$ no son linealmente independientes, entonces no puede abarcar el espacio, por lo que

$M=$span$({\{f_k\}})^{\perp}\neq 0.$ por lo Tanto, hay un no-vector cero $u\in M$ tal que para cada entero $1\le k\le n,\ u\perp f_k.$

Por supuesto, $u=\sum^n_{k=1}\langle u,e_k\rangle e_k, $ , de modo que $\|u\|^2=\sum^n_{k=1}|\langle u,e_k-f_k\rangle |^2.\ $ Ahora, se aplican de Cauchy-Schwarz para este último elemento y, a continuación, utilizar la hipótesis:

$\|u\|^2\le \sum^n_{k=1}\|u\|^2\cdot \|e_k-f_k\|^2<\sum^n_{k=1}\|u\|^2\cdot \left ( \frac{1}{\sqrt n} \right )^2=n\cdot \left ( \frac{1}{\sqrt n} \right )^2\cdot \|u\|^2=\|u\|^2$, y así conseguir que la $\|u\|^2<\|u\|^2$, lo cual es absurdo.

3voto

Pierre Lebeaupin Puntos 729

La condición $\|f_k - e_k\|_2 < \frac{1}{\sqrt n}$ puede ser escrito $$ \|(I-T)e_k\|_2 < \frac{1}{\sqrt n}$$ Donde $T:X\to X$ es el lineal mapa en $X=\operatorname{span}\{e_1\dots e_n\}$ que se asigna a$e_k \mapsto f_k$, e $I:X\mapsto X$ es el mapa de identidad.

Supongamos ahora $x=\sum_i x_i e_i $ es un vector arbitrario en $X$ con $\|x\|^2_2 = \sum_i x_i ^2 = 1$. Entonces \begin{align} &\|(I-T)x\|_2 \\ \le& \sum_{i=1}^n | x_i|\| (I-T) e_i\|_2 \\ \le &\sqrt{\sum_i |x_i|^2} \sqrt{\sum_i \| (I-T) e_i\|^2_2} \\ =& \sqrt{\sum_i \| (I-T) e_i\|^2_2} \end{align}

Por lo tanto el operador de la norma $\|I-T\|_{op} := \sup_{x: \|x\|_2 = 1} \|(I-T)x\|_2 \le \sqrt{\sum_i \| (I-T) e_i\|^2_2} < 1 $. Por los resultados de Neumann de la serie (ver la Prueba de Neumann Lema ), $T$ es invertible, y el resultado de la siguiente manera.

Además, aquí hay una foto que muestra por qué una desigualdad estricta es importante: counterexample

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X