Prueba constructiva de Banach-Alaouglu.

Question

¿Existe una prueba constructiva (es decir, de no utilizar el axioma de elección y, a lo sumo, el de la elección dependiente) del teorema de Banach-Alaoglu en el caso de espacios de Banach separables? Incluso si es necesario, supongamos que el dual es separable. Bajo aún más suposiciones, ¿existe tal prueba para los espacios de Banach de dimensión infinita?

Sabemos que existe tal prueba para Hahn-Banach en el caso separable.

Answer 1

Esto es bastante elemental. Si $X$ es separable, a continuación, la unidad cerrada balón $B$ de $X^{*}$ es metrizable en la $weak^{*}$ topología. [ $d(f,g)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac 1 {2^{i}} \frac {|f(x_i)-g(x_i)|} {1+|f(x_i)-g(x_i)|}$ metrizes si $\{x_i\}$ es denso en $X$]. Cualquier secuencia $\{f_n\}$ en $B$ tiene una larga $\{f_n'\}$ convergiendo en cada una de las $x_j$'s (por una diagonal procedimiento). Hoy en día es bastante fácil ver que, si $\{x_{i_l}\}$ converge a algún punto de $x$ entonces $f_n'(x_{i_l})$ es de Cauchy. Llame al límite de $f(x)$. Obviamente, $\|f\|\leq 1$. De ello se desprende que $f_n'(x_{i_l})$ converge en la débil* topología. Por lo tanto, $B$ es secuencialmente compacto y metrizable, por lo tanto compacto.