Estoy leyendo a través de los Aislantes Topológicos y Superconductores Topológicos por Bernevig y Hughes. Estoy en el Capítulo 10, donde se describe la formulación original de la $\mathbb{Z}_2$ invariante dado en el original Kane-Mele papel. Ambas exposiciones son básicamente idénticos.
Ellos consideran que un N-banda de modelo, y que denotan la N-componente de la función de onda en el espacio k como $|u_k^n\rangle$, $n=1,..., N$. Ellos definen la cantidad de $P(k)=\text{Pf}(\langle u_k^n|\hat T|u_k^m\rangle)$, donde $\hat{T}$ es el momento de reversión de operador. A continuación, argumentan las siguientes cosas son verdad de $P(k)$:
- $|P(k)|=1$ si $k$ es un tiempo de reversión-invariante impulso. Esto es debido a que la matriz de $\langle u_k^n|\hat T|u_k^m\rangle$ es unitaria en un punto.
- Si la fase de $P(k)$ vientos alrededor de un bucle, hay algunos $k_0$ dentro de ese bucle con $P(k_0)=0$. Esto es debido a que $P(k)$ es una función continua de $k$.
- Si la fase de $P(k)$ vientos $z$ veces alrededor de $k_0$, luego de que los vientos $-z$ veces alrededor de $-k_0$. Esto es debido a la reversión de las cosas.
La combinación de esos tres hechos les hace decir que el total de la bobina alrededor de los ceros de la $k_x>0$ la mitad de la Brilloiun de la zona (mod 2) es un invariante topológico. Ellos argumentan que si tenemos un solo vórtice en la mitad derecha de la Brilloiun de la zona, la única manera en que puede desaparecer es por la combinación con el momento socio invertido vórtice en la mitad izquierda de la Brilloiun de la zona. Pero debido a que el punto (3) anteriormente, el único lugar estos vórtices se puede encontrar es en un momento de reversión-invariante punto, lo cual es imposible debido a (1).
Puedo aceptar todo eso. Pero no entiendo: ¿por Qué introducir el Pfaffian? La normal determinante debe tener todas esas propiedades también! Desde el determinante es sólo el pfaffian cuadrado, debe ser cero al mismo tiempo, debe tener valor absoluto 1 al mismo tiempo, y si uno de los vientos, el otro debe de viento (dos veces como mucho, pero todavía)! ¿Por qué no acaba de definir $D(k)=\text{det}(\langle u_k^n|\hat T|u_k^m\rangle)$, y definir su invariante topológico a ser el número de veces que $D(k)$ vientos de más de la mitad de la zona de Brillouin? Usted puede simplemente dividir por dos al final y se obtiene la misma respuesta, no? Y quién no prefiere determinantes para pfaffians?
Lo que me estoy perdiendo aquí?
