"Cosas periódicas puntiagudas": ¿estos objetos tienen un nombre y existe un método para encontrar las curvas de límite?

Question

Esta pregunta fue originalmente acerca de la evaluación de la suma de $\sum_{n=0}^\infty e^{nix}$, pero me di cuenta de la respuesta sobre a mitad de camino a través de la escritura. En lugar de eso, me decidí a pedir un poco diferente de la pregunta.

Ahora, obviamente, la suma de $\sum_{n=0}^\infty e^{nix}$ no convergen - sin embargo, la clausura del conjunto de puntos de $(x,z)$ dado por $z=\sum_{n=0}^\omega e^{nix}$ está delimitado por arbitrariamente grande, $\omega$; el objeto formado por estos puntos está bien definido como $\omega\to\infty$.

Esto se hace evidente cuando se rompe la suma en una real y la parte imaginaria:

$$\sum_{n=0}^\infty e^{nix}=\sum_{n=0}^\infty \cos{nx}+i\sum_{n=0}^\infty \sin{nx}$$

Ambas sumas forma limitada conjuntos, y el límite es claramente otra función periódica con asíntotas verticales en múltiplos enteros de $2\pi$.

El objeto resultante se puede expresar (es cierto que torpemente) como una pieza sabio-conjunto de valores de la función de una sola variable real $x$:

$$r_1(x)=-\frac{1}{2}\csc{\frac{x}{2}}+\frac{1}{2}\qquad r_2(x)=\frac{1}{2}\csc{\frac{x}{2}}+\frac{1}{2}$$

$$m_1(x)=-\frac{1}{2}\tan{\frac{x}{4}}\qquad m_2(x)=\frac{1}{2}\cot{\frac{x}{4}}$$

$$f(x)=\begin{cases}[r_1(x),r_2(x)]+i[m_1(x),m_2(x)]&\cot{\frac{x}{4}}>0\\ \mathbb{C}&\cot{\frac{x}{4}}=0^{\pm1}\\ [r_2(x),r_1(x)]+i[m_2(x),m_1(x)]&\cot{\frac{x}{4}}<0\end{cases}$$

El uso de $0^{-1}=\pm\infty$, $\quad Y_1+Y_2=\left\{y_1+y_2\mid y_1\in Y_1\land y_2\in Y_2\right\}$, e $iY=\left\{iy\mid y\in Y\right\}$. (Si hay una forma más elegante de escribir esto, por favor que me lo diga).

Naturalmente mi siguiente pregunta era si o no a otros "spiky sumatorias' existen, por lo que he jugado con diferentes funciones periódicas, tratando de obtener la suma a "convergencia", a un almacén de la forma. Después de experimentar durante un tiempo, parece que hay toda una clase de estos objetos - que han interesante geométricas y propiedades estadísticas.

Hacer que estos objetos tienen un nombre? Y es que hay un método general para hallar la envolvente de las curvas dada la suma se utiliza para generar en ellos?

Answer 1

Este comportamiento es muy fácil de explicar al ver la suma de una serie geométrica. Tenemos una fórmula cerrada $$\sum_{n=0}^\omega e^{nix}=\frac{e^{(\omega+1)ix}-1}{e^{ix}-1}$$ and the bounding curves you are finding are just what you get by maximizing and minimizing the real and imaginary parts of $$\frac{w-1}{e^{ix}-1}$$ where $w$ is allowed to range over the unit circle. When $\omega$ is large, $e^{(\omega+1)ix}$ is cycling through the entire unit circle very quickly as $x$ changes (while the denominator $e^{ix}-1$ is changing slowly), and so the real and imaginary parts of the sum quickly oscillate between the maximum and minimum values where $p$ rangos sobre el círculo unidad.

Explícitamente, para encontrar las partes real e imaginaria escribimos $w=a+bi$ y encontrar $$\frac{w-1}{e^{ix}-1}=\frac{a-1+bi}{\cos x-1+i\sin x}=\frac{a(\cos x-1)+b\sin x+1-\cos x}{(\cos x-1)^2+\sin^2 x}+i\frac{-a\sin x+b(\cos x-1)+\sin x}{(\cos x-1)^2+\sin^2 x}.$$ By Cauchy-Schwarz, given the constraint $a^2+b^2=1$, we maximize or minimize $a(\cos x-1)+b\sin x$ by making $(a,b)$ a scalar multiple of $(\cos x-1,\sin x)$, so that $a=\pm\frac{\cos x-1}{\sqrt{(\cos x-1)^2+\sin^2 x}}$ and $b=\pm\frac{\sin x}{\sqrt{(\cos x-1)^2+\sin^2 x}}$. This tells us that when $2-2\cos x$ is positive, the real part is bounded by $$\frac{1}{2}\pm\frac{(\cos x-1)^2+\sin^2 x}{((\cos x-1)^2+\sin^2 x)^{3/2}}=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\csc(x/2).$$ Del mismo modo, la parte imaginaria es delimitada por $$\frac{1}{2}\frac{\sin x}{1-\cos x}\pm\frac{1}{2}\csc(x/2)$$ which is $\frac{1}{2}\cot(x/4)$ or $-\frac{1}{2}\tan(x/4)$ dependiendo del signo elegido.

La tangente-como la apariencia de la parte imaginaria gráfico (con la mitad del período de la envolvente de las curvas) se explica por el hecho de que el promedio de valor entre las oscilaciones es $\frac{1}{2}\frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{1}{2}\cot(x/2)$. En otras palabras, la parte imaginaria es la gráfica de $\frac{1}{2}\cot(x/2)$ superpuesta con oscilaciones, cuyos picos se comportan como $\frac{1}{2}\csc(x/2)$.

La delimitación de las curvas para otros similares sumatorias se puede encontrar en la misma forma, por escrito todo en términos de exponenciales complejas y, a continuación, suma como una serie geométrica. En particular, el mismo método que se debe trabajar para tres de los cuatro ejemplos que se presentaron en la final (con la excepción de $\sum (-1)^n \cos^2(n/(x-n))$, que no es realmente el mismo tipo de suma en todos y comportamiento muy diferente).