Polinomios $f$ con coeficientes enteros tales que $f(x) \geq 0$ $[-2,2]$ $f(x) \leq \frac{1}{1+x}$ $(-1,2]$

Question

Encontrar polinomios con coeficientes enteros $f\in\mathbb{Z}[x]$ tal que $f(x)\ge 0$$x\in[-2,2]$$\frac{1}{1+x}\ge f(x)$$x\in(-1,2]$.

Supongo que sólo es tal polinomio es sólo $0$, pero parece difícil de probar. He encontrado un ejemplo $f(x)=x^2(x+1)(x-1)^2(x-2)^2$ satisfacción $0\le f(x)\le \frac{1}{1+x}$$x\in(-1,2]$, pero satisface $f(x)<0$$x\in [-2,-1)$. Hay no trivial (es decir, distinta de la función cero) ejemplos?

Answer 1

Esto no es cierto, hay muchos polinomios de satisfacciones mucho más estrecha de las desigualdades. Voy a mostrar:

Clave de Reclamación Por cualquier $\epsilon > 0$, no es un polinomio $f$ con el entero los coeficientes de obedecer $|f(x)| < \epsilon$$x \in [-1,2]$.

Por lo tanto, $f(x)^2 \geq 0$ en todas partes y, si elegimos $\epsilon < 1/\sqrt{3}$,$f(x)^2 < 1/3 < 1/(1+x)$$(-1,2]$. Por supuesto, con los valores más pequeños de $\epsilon$, en su lugar, podríamos ver el $f_1^2+f_2^2$, donde $|f_1|$, $|f_2|<\epsilon$, o $f^2+f^4$, o muchas cosas más complicadas. Yo creo que no hay ayuda de la clasificación de dichos polinomios.

Antes de entrar en la teoría general, déjame demostrar que al menos uno de esos polinomio existe por presentar una: Conjunto de $$g(x) = x^{10}-5 x^9+6 x^8+6 x^7-14 x^6+9 x^4-x^3-2 x^2=(x-2) (x-1)^2 x^2 (x+1) (x^2-x-1)^2.$$ El valor mínimo de $|g|$$[-1,2]$$\approx 0.431058 < 1/\sqrt{3} \approx 0.57735$. Por lo $g^2$ cumple con los criterios.

Yo sabía que la Clave de la Reclamación a cabo debido a un teorema de Fekete: Vamos a $a<b<a+4$ ser números reales. Entonces existe un polinomio $p$ con coeficientes enteros tales que $$|p(x)| \leq 2^{1-2^{-n-1}} (n-1) \left(\frac{b-a}{4} \right)^{n/2} \ \mbox{for} \ x \in [a,b].$$ En particular, teniendo en $[a,b]=[-1,2]$, la mano derecha va a$0$$n \to \infty$, lo que demuestra la demanda.

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Aquí es constructiva de la prueba de la Clave de la Reclamación.

Lema Para cada $n$, hay un grado $n$ polinomio $p_n(x)$ con coeficientes enteros tales que, si ampliamos $p_n(3/2 \cos \theta + 1/2)$ (finito)la transformada de Fourier de la serie, el coeficiente de $\cos (m \theta)$ es en la mayoría de las $(3/4)^m$.

Prueba de Croquis elegimos los coeficientes de $p_n$ a partir de con $x^n$ y trabajando hacia abajo. Tomamos el coeficiente de $x^n$$1$. Para todos los niveles inferiores de términos, se elige el coeficiente de $x^m$, lo que hace que el coeficiente de $\cos (m \theta)$ tan pequeño como sea posible. Desde $\left( (3/2) \cos \theta + 1/2 \right)^m = 2 (3/4)^m \cos (m \theta) + \cdots$, siempre podemos hacer que el coeficiente de $\cos (m \theta)$ ser en la mayoría de los $(3/4)^m$. $\square$

El polinomio $g$ por encima de fue la elegida por el método anterior con $n=10$. Tenemos $$g((3/2) \cos \theta + 1/2) = -0.136745 - 0.0875816 \cos(2 \theta) - 0.0482025 \cos (4 \theta) + 0.0848179 \cos(6 \theta) + 0.0750847 \cos(8 \theta) + 0.112627 \cos(10 \theta).$$

En el ejemplo anterior, tenemos la suerte de que un único polinomio era bastante pequeña. En general, elija $N$ suficientemente grande como para que $\sum_{m=N}^{\infty} (3/4)^m < \epsilon/3$. Entonces, por el principio del palomar, debe haber dos índices de $i$ $j$ tal que la primera de las $N$ términos de Fourier de $p_i(3/2\cos \theta+1/2) - p_j(3/2 \cos \theta+1/2)$ todos los $< \epsilon/(3 N)$. A continuación, $p_i-p_j$ satisface la Clave de la Reclamación, ya que $(3/2) \cos \theta+1/2$ parametrizes $[-1,2]$$|\cos (m \theta)| \leq 1$.

Referencias: Fekete del documento original (en alemán), un inglés de la exposición y la generalización de la Fekete del resultado que inspiró la anterior prueba, una muy legible papel en pequeño número entero polinomios.