Problema de las series infinitas

Question

La suma de $$\frac{2}{4-1}+\frac{2^2}{4^2-1}+\frac{2^4}{4^4-1}+\cdots \cdots $$

Prueba: escríbelo como $$S = \sum^{\infty}_{r=0}\frac{2^{2^{r}}}{2^{2^{r+1}}-1}=\sum^{\infty}_{r=0}\frac{2^{2^r}-1+1}{(2^{2^r}-1)(2^{2^r}+1)}$$

no se como resolverlo desde aqui, podria alguien ayudarme

para resolverlo, Gracias

Answer 1

Se puede demostrar por inducción que $$\sum_{r=0}^n\frac{2^{2^r}}{2^{2^{r+1}}-1}=1-\frac{1}{2^{2^{n+1}}-1}.$$ (Si no te diste cuenta de esta conjetura al principio, lo harás después de calcular las primeras sumas parciales). Efectivamente, la afirmación es correcta si $n=0$ y si se cumple para $n=k$ entonces $$\sum_{r=0}^{k+1}\frac{2^{2^r}}{2^{2^{r+1}}-1}=1-\frac{1}{2^{2^{k+1}}-1}+\frac{2^{2^{k+1}}}{2^{2^{k+2}}-1}=1-\frac{1}{2^{2^{k+2}}-1}$$ según proceda, siendo el cálculo final el $a=2^{2^{k+1}}$ caso especial de $$1-\frac{1}{a-1}+\frac{a}{a^2-1}=1-\frac{1}{a^2-1}.$$ Puede reescribir este argumento como el cálculo de una serie telescópica.

Answer 2

Puede continuar como:

$$\frac{2^n}{(2^n-1)(2^n+1)} =\frac{(2^n+1)-1}{(2^n-1)(2^n+1)} =\frac 1{2^n-1} - \frac 1{(2^n-1)(2^n+1)}$$ Dónde $n = 2^r$ . Ahora escribe la suma como:

$$\left(\frac 11 - \frac 13\right) + \left(\frac 13 - \frac 1{15}\right) + ... + \left(\frac 1{2^n-1} - \frac 1{(2^n-1)(2^n+1)}\right)$$

Después de cancelar las condiciones que le quedan:

$$1 - \frac 1{(2^n-1)(2^n+1)}$$

En $n$ tiende a infinito, la expresión se convierte en $1$ .

Answer 3

Tenga en cuenta en primer lugar que $$ \frac{2^n}{2^{2n}-1}=2^{-n}\frac{1}{1-2^{-2n}}=\sum_{k:\text{odd},k\in\Bbb N} 2^{-nk}. $$ Si sumamos $n=2^j$ , $j\ge 0$ tenemos $$ S=\sum_{j=0}^\infty \frac{2^{2^j}}{2^{2^{j+1}}-1}=\sum_{j=0}^\infty\sum_{k:\text{odd},k\in\Bbb N} 2^{-2^j\cdot k}=\sum_{l=1}^\infty 2^{-l}=1 $$ ya que cada $l\ge 1$ tiene una representación única $l=2^j\cdot k$ para algunos $j\ge 0$ e impar $k\in \Bbb N$ .