¿Qué formas naturales de particionar un grupo$G$ existen?

Question

¿Qué formas naturales, o al menos útiles, existen para particionar un grupo finito $G$ ? Los dos ejemplos que vienen a la mente son:

• Particionando $G$ en todos los cosets de la izquierda (o derecha) de un subgrupo $H$ de $G$ .

• Particionando $G$ en todas sus clases de conjugación.

Answer 1

Es una manera de generalizar la noción de conjugacy a twisted conjugacy. Para cualquier endomorfismo $\varphi: G \to G$ de un grupo de $G$, se puede definir una relación de equivalencia $\sim_\varphi$por $$g \sim_\varphi g' \iff \exists h \in G: g = hg'\varphi(h)^{-1}.$$ Llamamos a las clases de equivalencia $\varphi$-twisted clases conjugacy. La noción usual de conjugacy, a continuación, coincide con $\sim_{\operatorname{id}}$.

Este se origina a partir de topológico de punto fijo de la teoría: si $f: X \to X$ es un mapa de un espacio topológico $X$, a continuación, $f$ induce un endomorfismo $f_*$ en el grupo fundamental de la $\pi_1(X)$. El número de puntos fijos de $f$ está relacionado con el número de $f_*$-twisted clases conjugacy (ver La teoría del punto fijo de clases por Tsai-Han Kiang para obtener más información).

Esto puede ser generalizado aún más: tomar dos morfismos $\varphi, \psi: G \to H$. Entonces podemos partición $H$ utilizando la equivalencia de la relación de $\sim_\varphi^\psi$ dada por $$h \sim_\varphi^\psi h' \iff \exists g \in G: h = \psi(g)h'\varphi(g)^{-1}.$$ De nuevo, esto tiene un topológico de fondo: si tenemos dos mapas de $f,g: X \to Y$ inducción de morfismos $f_*,g_*: \pi_1(X) \to \pi_1(Y)$, el número de clases de equivalencia está relacionado con el número de elementos del conjunto $$\operatorname{Coin}(f,g) = \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}.$$

Answer 2

Sospecho que hay un meta-teorema que dice que (si no todos, al menos la mayoría) "interesante o útil" particiones de un grupo de $G$ surgir de la siguiente manera. Tome un grupo de $H$ y deje $H$ actuar en $G$ en algunos "interesante o útil". A continuación, tomar las órbitas de la acción de la $H$ a $G$ para su partición.

Por ejemplo, las clases conjugacy de $G$ surgir como las órbitas de la acción del interior automorphism grupo de $G$ a $G$. Esto se puede generalizarse, considerando otros subgrupos de la automorphism grupo de $G$ (en particular, la plena automorphism grupo). Si el grupo $G$ tiene una estructura adicional (es decir, un grupo de topología o un invariante de la medida), entonces se puede considerar que sólo automorfismos que conservar esa estructura.

Los cosets de un subgrupo de $H$ de $G$ surgir como las órbitas de la acción de la $H$ a $G$ por (izquierda o derecha) de la multiplicación.

El trenzado conjugacy clases mencionadas en la respuesta por @TastyRomeo surgir de un trenzado de conjugacy acción.

La partición mencionado por @Max en un comentario viene de una acción de un grupo cíclico de orden $2$ actuando por inversión en el grupo.