Una serie de potencias$\sum_{n = 0}^\infty a_nx^n$ tal que$\sum_{n=0}^\infty a_n= +\infty$ pero$\lim_{x \to 1} \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n \ne \infty$

Question

Vamos a considerar el poder de la serie de $\sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n $ con radio de convergencia $1$. Por otra parte supongamos que : $\sum_{n = 0}^{\infty} a_n= +\infty$. A continuación, me gustaría encontrar una secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ que respetar la condición anterior, y tal que :

$$\lim_{x \to 1, x < 1} \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n \ne +\infty$$

En primer lugar me he dado cuenta de que $a_n$ no puede ser una secuencia positiva, ya que si fuera el caso tendríamos para todos los $N$ :

$$\lim_{x \to 1} \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n \geq \sum_{n = 0}^N a_n$$

Por lo tanto necesitamos un poco de la $a_n$ a ser negativo. Por otra parte tengo que usar el supuesto de que la suma en $x = 1$ diverge, porque si la suma de a $x = 1$ converge entonces Abel teorema dice que el límite en $x \to 1$ y la suma de la potencia de la serie en $x = 1$ son iguales.

Gracias.

Answer 1

Dichas secuencias no existen. Vamos a comprobar esta contradicción:

Suponga que $A_n := \sum_{k=1}^n a_k \rightarrow \infty$, $ f(x):=\sum_{k=1}^\infty a_k z^k$ es convergente en la unidad de disco y $\lim_{x \uparrow 1} f(x)$ existe. La eliminación de una cantidad finita $a_i$ no cambia el comportamiento de $A_n$ y tampoco la existencia de las limas para $x \uparrow 1$. Por lo tanto, podemos suponer que la $A_n \ge 0$ para todos los $n \ge 1$. Ahora uso Abel resumen en el formulario $$\label{1}\tag{1}\sum_{k=1}^n a_k x^k = A_n x^n - \sum_{k=1}^{n-1} A_k x^k (1 - x).$$ Porque $$|A_n x^n| \le \sum_{j=1}^n |a_j| |x|^j$$ y la serie es absoluta convergentes (como una potencia de la serie) por $|x| < 1$, podemos ver que $|A_n x^n|$ está delimitado por fijo $|x| < 1$. Desde $|A_n x^n| \le C(x)$, tenemos para todos los $|y| < |x|$ que $|A_n y^n| \le C(x) |y/x|^n \rightarrow 0$. Por lo tanto $\lim_{n \rightarrow \infty } A_n y^n =0$ para todos los $|y| < |x|$. Desde $x$ fue arbitrarias, obtenemos esta declaración para todos los $|y| <1$ (no necesariamente convergencia uniforme).

Dejando $n \rightarrow \infty$ en \eqref{1} da para $|x| <1$que $$\label{2}\tag{2}f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k x^k = (1-x) \sum_{k=1}^\infty A_k x^k.$$ Desde $\lim_{x \uparrow 1} f(x):=c$ existe, tenemos $$\sum_{k=1}^\infty A_k x^k \sim \frac{1}{1-x}.$$ El de Hardy–Littlewood tauberian teorema ya implica que $$\sum_{k=1}^n (n+1-k) a_k = \sum_{k=1}^n A_k \sim n.$$ Pero, tenemos $$\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n} A_k \ge \frac{1}{2} A_n \rightarrow \infty.$$ Es una contradicción!

El problema cambia rápidamente, si sólo requerimos que $\sum_{k=1}^n a_k$ no es convergente.

Tomar, por ejemplo, $a_k = (-1)^k$: Hemos $$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^k = \frac{1}{x+1}$$ y que $\lim_{x \uparrow 1} (x+1)^{-1} = 1/2$, pero $\sum_{k=0}^n (-1)^k$ no es convergente.

Como zhw muestra en la segunda respuesta, también podemos probar que $\lim_{x \uparrow 1} f(x) = \infty$.

Nota para lo que la identidad en \eqref{2} implica, desde $A_n >K$ para todos los $n \ge N$que $$f(x) \ge (1-x) K \sum_{k=N}^\infty x^k = K x^N$$ y por lo tanto $\liminf_{x \uparrow 1} f(x) \ge K$. Debido a $K>0$ es arbitrarias grande, tenemos ya $\lim_{x \uparrow 1} f(x) = \infty$.

Answer 2

La siguiente prueba de que $\lim_{x\to 1^-}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \infty$ parece más sencillo para mí..

Lema: Vamos a $A_n=\sum_{k=0}^{n}|a_k|.$ Entonces $\sum_{n=0}^{\infty}A_nx^n<\infty$ para $x\in (0,1).$

Esto se deduce del hecho de que el radio de convergencia es $1,$ que es igual a decir $\limsup |a_n|^{1/n} =1.$ Este es un buen ejercicio. (Una prueba de que el lema es ahora en los comentarios.)

Para demostrar el resultado principal, vamos a $S_n=\sum_{k=0}^{n}a_n;$ establecer $S_{-1}=0.$ Deje $x\in (0,1).$ Luego

$$\tag 1\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty}(S_n-S_{n-1})x^n.$$

Ahora ya $|S_n| \le A_n,$ el lema muestra que podemos escribir la última de la serie como la diferencia de dos convergente la serie, es decir, como

$$ \sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n - \sum_{n=1}^{\infty}S_{n-1}x^n = \sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n - \sum_{n=0}^{\infty}S_{n}x^{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n(1-x).$$

Ahora vamos a $M>0.$ Entonces no es $N$ tales $S_n>M$ para $n>N.$ Escribir la última de la serie como

$$(1-x)\left (\sum_{n=0}^{N}S_nx^n +\sum_{n=N+1}^{\infty}S_nx^n\right ) > (1-x)\left (\sum_{n=0}^{N}S_nx^n +Mx^{N+1}\frac{1}{1-x}\right ).$$

El $\liminf_{x\to 1^-}$ de la expresión de la derecha es igual a $0 + M =M.$ así pues, Hemos demostrado la $\liminf_{x\to 1^-}$ de la parte izquierda de $(1)$ es $\ge M.$ Desde $M$ fue arbitraria, esto $\liminf$ es $\infty.$ por Lo tanto el límite del lado izquierdo de $(1)$ es $\infty$ como se desee.