Ecuación funcional que implica $f(x^4)+f(x^2)+f(x)$

Question

Encontrar todas las funciones crecientes $f$ de reales positivos a reales positivos que satisfacen $f(x^4) + f(x^2) + f(x) = x^4 + x^2 + x$ .

Es fácil demostrar que $f(1)=1$ y también pude demostrar que $$f(x)-x = f(x^{(8^k)}) - x^{(8^k)}$$ para todos los enteros $k$ .

Pero, ¿a dónde ir a partir de aquí? Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

Dejemos que $g(x) = f(x)-x$ . Obtenemos $g(x^4)+g(x^2)+g(x)=0$ . Definir $a_n = g(x^{2^n})$ por cada $n\in\Bbb Z$ donde $x\ne 1,x>0$ . De ello se desprende que $$ a_{n+2}+a_{n+1}+a_n=0, $$ y a partir de esta ecuación lineal de 2º orden obtenemos para algunos $A,B$ , $$ a_n =\begin{cases}A,\quad n\equiv 0 \;\text{(mod }3)\\ B,\quad n\equiv 1 \;\text{(mod }3)\\-A-B,\quad n\equiv 2 \;\text{(mod }3)\end{cases}. $$

Dice que $(a_n)$ es un $3$ -secuencia periódica. Ahora afirmamos que $a_n = 0$ por cada $n$ . Desde $f(x)=x+g(x)$ es creciente, se mantiene para cada $k=0,1,2$ y todos $n\equiv k\text{ (mod} \;3)$ , $x>1$ que $$ x^{2^n}+a_k \le x^{2^{n+1}}+a_{k+1}\le x^{2^{n+2}}+a_{k+2}. $$ Dejemos que $n\equiv k\text{ (mod} \;3)$ tienden a $-\infty$ para obtener $$ a_k\le a_{k+1}\le a_{k+2} $$ para cada $k=0,1,2$ . Esto implica $a_0=a_1=a_2=0$ y por lo tanto $a_n = 0,\ \forall n$ sigue para $x>1$ . El caso en el que $0<x<1$ puede tratarse de forma similar observando que $$ x^{2^n}+a_k \ge x^{2^{n+1}}+a_{k+1}\ge x^{2^{n+2}}+a_{k+2}. $$
Esto demuestra $f(x)=x+g(x)=x$ para todos $x>0$ .

Answer 2

Primero demostramos que $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1$ . Nótese que el límite de una función creciente por abajo o por arriba siempre existe. Sea el límite por abajo $a$ y el límite de arriba sea $b$ . Si tomamos el límite por debajo de $f(x) + f(x^2) + f(x^4) = x + x^2 + x^4$ obtenemos $a + a + a = 3$ Así que $a = 1$ (ya que como $x$ se acerca a $1$ , $x^2$ y $x^4$ también se acercan $1$ ). Del mismo modo, desde arriba, $b + b + b = 3$ Así que $b = 1$ . Por último, ya sabemos $f(1) = 1$ . Así que $$ \lim_{x \to 1} f(1) = 1. $$

(De hecho, podríamos mostrar $f$ es continua para todo $x$ (con un argumento similar).

Para terminar, considere su ecuación $f(x) + f(x^{8^k}) = x + x^{8^{k}}$ . Tome el límite como $k \to -\infty$ . Independientemente de $x$ , $x^{8^k}$ se acerca a $x^{0} = 1$ . Así, obtenemos \begin{align*} f(x) + 1 = x + 1 \\ \implies & \boxed{f(x) = x}, \end{align*} que es válida para todos los $x$ . Así que $f(x) = x$ es la única solución.

Answer 3

Si estamos interesados en funciones lo suficientemente suaves como para admitir alguna expansión en serie de potencias (alrededor de $x=0$ ):

$$f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_kx^k$$

Desde $$f(x^n) = \sum_{k=0}^\infty c_kx^{kn}$$ Forzará las relaciones entre los coeficientes de forma sistemática que luego podrás investigar.

Answer 4

Suponiendo que $f(x)$ como una función real, llamando a $g(x) = f(x)-x$ tenemos

$$ g(x^4)+g(x^2)+g(x) = 0 $$

ahora llamando $e^y = x$ tenemos

$$ g(e^{4y})+g(e^{2y})+g(e^y) = 0 $$

o

$$ G(4y)+G(2y)+G(y) = 0 $$

Esta ecuación de recurrencia tiene como solución

$$ G(y) = C_1 y^{-\frac{2 i \pi }{3 \ln 2}}+C_2 y^{\frac{2 i \pi }{3 \ln 2}} $$

porque

$$ \mathcal{G}(\log_2 (4y))+\mathcal{G}(\log_2(2y))+\mathcal{G}(\log_2 y)=0\\ \mathcal{G}(\log_2 y+2)+\mathcal{G}(\log_2 y +1)+\mathcal{G}(\log_2 y)=0 $$

y haciendo $z = \log_2 y$ obtenemos

$$ \mathcal{G}(z+2)+\mathcal{G}(z+1)+\mathcal{G}(z)=0 $$

que se puede caracterizar como una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

A continuación

$$ G(y) = C'_1 \cos \left(\frac{2 \pi}{3} \log_2 y\right)+C'_2\sin \left(\frac{2 \pi}{3} \log_2 y\right) = g(e^y) = f(e^y)-e^y $$

y finalmente

$$ f(x) = C'_1\cos\left(\frac{2\pi}{3}\log_2(\ln x)\right)+C'_2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\log_2(\ln x)\right)+x $$

En caso de $f(x)$ que aumenta, entonces la solución es $f(x) = x$ avec $C'_1=C'_2=0$

NOTA

Utilice este script de MATHEMATICA para verificar la ecuación de recurrencia así como la solución final.

Clear[G]
G[y_] := Cos[(2 \[Pi] Log[2, y])/3] c1 + Sin[(2 \[Pi] Log[2, y])/3 ] c2
G[4 y] + G[2 y] + G[y] // FullSimplify

f[x_] := Cos[(2 \[Pi] Log[2, Log[x]])/3] c1 + Sin[(2 \[Pi] Log[2, Log[x]])/3 ] c2 + x
Assuming[x > 0, f[x^4] + f[x^2] + f[x] - x^4 - x^2 - x // FullSimplify]