El problema
Una rana hace $3$ saltos, cada uno exactamente $1$ metros de largo. Las direcciones de los saltos son elegidos de forma independiente al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la rana de la posición final no es más que $1$ metros de su posición inicial?
De fondo
Este problema viene de la AMC $12$ en el año $2010$. El concurso es una invitación a prueba en los estados unidos para la escuela secundaria para calificar para la Olimpiada. Involucra $25$ preguntas $75$ minutos y los problemas pueden ser resueltos sin cálculo.
Yo no llegará muy lejos, en mi intento, por lo que en última instancia, buscó y encontró aportado soluciones en el Arte de la Resolución de problemas.
Yo no entiendo a la "solución de $1$" y estoy bastante seguro de que "la solución de $2$" es incorrecta.
Posible solución $1$: random adiciones y/o sustracciones
Deje $a$,$b$, e $c$ ser números complejos de la magnitud de uno y que la rana inicio en el origen. Tenga en cuenta la 4 igualmente probable que las opciones de añadir o restar $b$ e $c$
$$ {|a+b+c|,|a+b-c|,|a-b+c|,|a-b-c|} $$
Los AoPS solución estados "es relativamente fácil" para mostrar exactamente $1$ de estos tiene magnitud $1$ o menos. Si es así, entonces de $4$ opciones posibles, no sería $1$ con magnitud $1$ o menos, por lo que la probabilidad sería de $1/4$ (el corrrect respuesta es, de hecho, $1/4$, pero este método no me satisface aún).
Yo no entiendo este paso, y alguien le hizo la misma pregunta en un hilo anterior. No es obvio para mí, y no tengo ni idea de cómo se podría ir sobre la muestra de este.
Hay una desigualdad que va a ayudar? No veo cómo simplificar. También la solución oficial es mucho más complicado (vea el diagrama a continuación), que me hace pensar que esta solución es elegante y pasado por alto o que casualmente es el número correcto, pero no es el método correcto.
(Pensándolo bien, parece $a = (1, 0), b = (0, 1), c = (-1, 0)$ sería un contra-ejemplo como $|a + b + c| = 1 = |a - b + c|$ por lo tanto están dentro de 1.)
Posible solución 2: probabilidad geométrica
La solución es similar a esto. Supongamos que el primer salto es desde el origen. Así que para ser $1$ unidad desde el punto de partida, usted necesita estar en el círculo unidad.
Los próximos dos saltos puede ser $2$ unidades después del primer salto, la misma probabilidad de estar en cualquier ángulo. Por lo que el espacio muestral de punto final es un círculo de radio $2$ centrada en el punto del primer salto. Este círculo es también tangente al círculo unidad.
Así, el espacio muestral tiene una superficie de $4\pi$, de los cuales el área del círculo unitario es $\pi$. Por lo tanto la probabilidad es $1/4$.
Estoy bastante seguro de que este método no es correcto porque yo simulado $2$ salta numéricamente. Usted consigue un círculo de $2$, pero no todos los puntos son igualmente probables. Hay clustering para el centro del círculo y la circunferencia del círculo.
Además, si este método era cierto, parece que $3$ saltos debe ser un círculo de radio $3$, pero eso implicaría una totalmente diferente respuesta de $1/9$.
La solución oficial
He encontrado un pdf en la siguiente página web, consulte problema $18$:
http://web2.slc.qc.ca/sh/Contest/AMC12_2010B-S.pdf
Permítanme resumir el método...
La idea es establecer las coordenadas para el primer salto es $(0, 0)$ y el segundo salto es $(1, 0)$. Deje que el punto de partida se $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ y, a continuación, la ubicación después de que el tercer salto se $(1 + \cos \beta, \sin \beta)$.
No es demasiado difícil para trabajar la condición para el tercer punto para estar dentro de $1$ unidad del primer punto. Ignorando la medida de $0$ de los casos de $\alpha = 0$ e $\alpha = \pi$, tenemos $\alpha \leq \beta \leq \pi$. Podemos limitar a $0 \leq \alpha \leq \pi$ ya que la otra mitad funciona de la misma por la simetría. Y tenemos $0 \leq \beta \leq 2\pi$.
(Echa un vistazo a este gráfico interactivo en Desmo para ver por qué se $\alpha \leq \beta \leq \pi$: https://www.desmos.com/calculator/egwegf8utr)
Considerando un rectángulo $(\alpha, \beta)$ donde todos los ángulos son igualmente probables, el espacio muestral es el rectángulo de área $2\pi$. El evento será en el plazo de 1 es un triángulo con área de $\pi/2$, por lo que la probabilidad deseada es $1/4$.
Son los AoPS soluciones incompletas?
Me encantaría si su "solución" $1$" es correcta, ya que es mucho más fácil de calcular y sería más razonable para un tiempo promedio de asignación de $3$ minutos/problema.
(Honestamente me podrías dar tiempo ilimitado y no estoy seguro de que me habría producido la solución oficial.)
¿Ustedes qué piensan?
La divulgación
Ejecuto el canal de YouTube de MindYourDecisions, y estoy considerando este problema. Si puedo hacer un video voy a crédito de cualquier persona que ofrece respuestas útiles.
