¿Es la singularidad del elemento neutro aditivo suficiente para probar que x + z = x implica z = 0?

Question

El siguiente fue inicialmente establecido por la n-tuplas de elementos de un campo escalar, por lo que la mayoría de las propiedades de los "vectores" se establece fácilmente a partir de las propiedades de la base de escalar campo. Pero los autores parecen querer su desarrollo a ser "autosuficiente". Por esta razón he sustituido "n-tupla" con "vector".

La relación de igualdad de vectores se ha establecido, así como los asociativa y conmutativa leyes de la adición de vectores. La siguiente propiedad de adición de vectores para ser presentado es el elemento neutro:

Existe un vector $\mathfrak{0}$ tal que $\mathfrak{x}+\mathfrak{0}=\mathfrak{x}$ por cada $\mathfrak{x}$. De ello se desprende no sólo puede ser un elemento neutro, por si $\mathfrak{0}$ e $\mathfrak{0}^{\prime}$fueron dos de estos elementos tendríamos $\mathfrak{0}^{\prime}+\mathfrak{0}=\mathfrak{0}^{\prime}$ e $\mathfrak{0}+\mathfrak{0}^{\prime}=\mathfrak{0},$ , por lo que por la ley conmutativa de la adición de vectores y la transitividad de vector de igualdad tendríamos $\mathfrak{0}=\mathfrak{0}^{\prime}.$

Ahora supongamos que para algunos $\mathfrak{x}$ tenemos $\mathfrak{x}+\mathfrak{z}=\mathfrak{x}.$ ¿Tenemos suficiente para demostrar que $\mathfrak{z}=\mathfrak{0}?$

Se me nota en particular de que la prueba de la singularidad de $\mathfrak{0}$ se basa en la suposición de que $\mathfrak{x}+\mathfrak{0}^{\prime}=\mathfrak{x}$ tiene para todos los vectores, y, por tanto, de $\mathfrak{x}=\mathfrak{0}$. Esta suposición viene de la definición de $\mathfrak{0}$ satisfacción $\mathfrak{x}+\mathfrak{0}=\mathfrak{x}$ para cada vector, y la suposición de que $\mathfrak{0}^\prime$ es también 'un elemento'.

También tenga en cuenta que los inversos aditivos no han sido introducidas.

Answer 1

No, esto no puede ser demostrado a partir de sólo asociatividad, conmutatividad, y la existencia de un elemento neutro. Por ejemplo, consideremos el conjunto $[0,1]$ con la operación binaria $a*b=\min(a,b)$. Esta operación es asociativa y conmutativa y $1$ es un elemento neutro. Pero para cualquier $x,y$ con $x\leq y$, tenemos $x*y=x$, e $y$ no es necesariamente el elemento neutro $1$.

Answer 2

Para un ejemplo más de aditivos de sabor, vamos a extender la operación $+$ a un nuevo elemento $\infty$ con la regla de que $x+\infty=\infty+x=\infty$ para todos los $x$. Se puede comprobar que $+$ todavía es asociativa y conmutativa, y $0$ , sigue siendo su elemento de identidad. Sin embargo, tenemos $\infty+7=\infty$ e $7\neq0$.

Answer 3

Puesto que usted está pidiendo simplemente sobre la singularidad de la identidad de un resumen de la operación, y no el uso de cualquier otra estructura en el espacio, podemos plantear que la operación "+" es isomorfo a "*" en algunos de anillo. En un anillo, la propiedad $x*y=y$ implica que $x*(y-1)=0$. Por lo tanto, la insuficiencia, de la siguiente manera a partir de la existencia de anillos con divisores de cero. Así, por ejemplo, si tratamos $[a_1,b_1]+[a_2,b_2]$ igual $[a_1a_2,b_1b_2]$, y luego tomar las $x=[1,0]$, $y=[1,1]$ da $x+y=x$.

Si más de las propiedades del espacio vectorial se introducen las que hacen que la operación + incompatible con ser isomorfo a la operación multiplicativa de un anillo con divisores de cero (como el que existe una relación inversa) se presentó, luego de estas propiedades, junto con la singularidad de la identidad, puede ser suficiente para establecer la proposición en cuestión.

Otro punto de vista es el tratamiento de la $x+y$ como un ser igual a alguna función indexados por $y$ aplicado a $x$. Es decir, "$x+y$" representa y.add(x). Que hay un objeto $0$ tal que $x+0=x$ para todos los $x$ simplemente significa que hay algo de $0$ tal que 0.add() = lambda x: x. Fácilmente podemos tener $x$ e $y$ tal que y.add(x) es igual a $x$, sin embargo, $y\neq0$.