no tiene ninguna solución.

Question

Mi método era simplemente completar el cuadrado:

$x^2+4x+18\equiv 0\pmod{49}$

$(x+2)^2\equiv -14\pmod{49}$

$x+2\equiv \sqrt{35}\pmod{49}$

Entonces$x\equiv\sqrt{35}-2\pmod{49}$, que no tiene soluciones reales.

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Siento que esto puede ser demasiado elemental, ¿es esta la manera correcta de resolver esto?

Answer 1

De hecho, está mal. $49 \mid (x+2)^2+14$ implica$7\mid (x+2)^2$, y en particular$7\mid x+2$. Pero esto significa que$49\mid (x+2)^2$, y por diferencia$49$ también debería dividir$14$, lo cual es falso.

Answer 2

Esto no es elegante, pero no toma tanto tiempo. Supongamos, por contradicción, que hay una solución módulo$49$. Para que haya una solución modulo$49$, debe haber una solución modulo$7$.

$$ x ^ 2 +4x +4 \ equiv \begin{cases} 4 \pmod{7} &\mbox{if } x \equiv 0 \pmod{7}\\ 2 \pmod{7} &\mbox{if } x \equiv 1 \pmod{7}\\ 2 \pmod{7} &\mbox{if } x \equiv 2 \pmod{7}\\ 4 \pmod{7} &\mbox{if } x \equiv 3 \pmod{7}\\ 1 \pmod{7} &\mbox{if } x \equiv 4 \pmod{7}\\ 0 \pmod{7} &\mbox{if } x \equiv 5 \pmod{7}\\ 1 \pmod{7} &\mbox{if } x \equiv 6 \pmod{7}\\ \end {cases} $$

Ahora, siguiendo a Paolo Leonetti, si$x \equiv 5 \equiv -2 \pmod{7}$, entonces$$x^2+4x+4 \equiv 0 \pmod{49}$ $

Pero esto, junto con nuestra equivalencia original, da la conclusión ridícula

PS

Answer 3

Tienes razón, excepto el símbolo de $\sqrt{35}$ no es muy buena notación modulo $p$ porque no hay manera de distinguir entre los dos posibles raíces. También, sólo porque el número de $35$ no tiene una verdadera raíz cuadrada no implica automáticamente que no tiene un modulo $49$. Por ejemplo, el número 7 no tiene raíz cuadrada, pero es un cuadrado modulo $9$.

He aquí cómo me gustaría volver a escribir la prueba.

Supongamos que $x^2 + 4x + 18 \equiv 0$ tenía una solución mod $49$. A continuación, completar el cuadrado, vemos que $(x+2)^2 \equiv 35$ tiene una solución mod $49$. De ello se desprende que $y^2 \equiv 35$ tiene una solución mod $49$.

Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $35$ es un no-square mod 49. De hecho, si $y^2 \equiv 35$$y^4 \equiv 0$. Podemos deducir que $7 | y$, ya que si $7 \nmid y$$49 \nmid y^4$. Pero, a continuación,$y^2 \equiv 0$, contradicción.

Answer 4

PS

PS

Teorema: si$$(x+2)^2 \equiv -14 \equiv 35 \pmod{49} \text{ is solvable}$ tiene una raíz primitiva (2, 4 y poderes primos impares),$$\iff (-14)^{\phi(49)/2} \equiv 35^{\phi(49)/2} \equiv 1 \pmod{49} \text { (But this is false.)}$ tiene una solución si y solo si$m$$x^k \equiv a \pmod{m}$ gcd (k, \ phi (m)) $ soluciones incongruentes.

Otra forma :$$\Large a^{\frac{\phi(m)}{gcd(\phi(m),k)}} \equiv 1 \pmod{m}$$ In that case, the equation has $

Una forma más : usa el lema de Hensel para resolver$(x+2)^2 \equiv 35 \pmod{49} \implies (x+2)^2 \equiv 35 \equiv 0 \pmod{7}$.