Entendiendo matemáticamente el proceso de expansión libre de un gas ideal.

Question

Estoy tratando de entender matemáticamente que para la expansión libre de un gas ideal la energía interna $E$ sólo depende de la temperatura de la $T$ y el volumen no $V$.

En el libre proceso de expansión el cambio en la energía interna $\Delta Q = \Delta W = 0$, por lo tanto, por la primera ley de $\Delta E=0$. La energía es una función de estado, por lo $E=E(V,T)=E(p,T)=E(p,V)$ con $V$ $T$ como el estado de las variables que hemos $E=E(V,T)$.

Tengo el siguiente escrito matemáticamente en mis notas, pero no entiendo cómo se deriva.

Si

$E=E(V,T)$

entonces

$dE=\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T dV+\left(\frac{\delta E}{\delta T}\right)_V dT$

ya sabemos experimentalmente que $dT=0$ $dE=0$ a partir de la primera ley se puede escribir:

$\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T=0$, según se requiera.

Tengo dos problemas con esto, en primer lugar no entiendo donde

$dE=\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T dV+\left(\frac{\delta E}{\delta T}\right)_V dT$

viene de. Mi conjetura es que es el diferencial de $E(V,T)$ pero no entiende la notación de lo $E(V,T)$ representa que es, entiendo que $E$ es una función de la temperatura y el volumen, pero no sé cómo esto se puede escribir matemáticamente otros de $E(V,T)$ por lo que no se puede diferenciar a mí mismo, para comprobar esto. De nuevo, si tuviera que adivinar que me gustaría obtener una expresión para $V$ $T$ usando la ecuación del gas ideal y tratar de diferenciar eso?

En segundo lugar, incluso con los resultados yo no entiendo por qué el resultado final es

$\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T=0$ e no $\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T dV=0$.

Ha $dV$ simplemente se ha omitido debido a que multiplicar por 0 a su vez hace que sea 0?

Esta pregunta ha surgido de mí, mirando mis notas de la conferencia por lo que es posible que yo haya escrito algo incorrectamente que ahora me confunde. Si usted podría ayudar a aclarar cualquiera de los puntos anteriores en que sería genial. Por favor, hágamelo saber si se necesita más información.

Editar:

También debo agregar que yo no estoy claro sobre la importancia de la subíndice valores de $T$ $V$ en cualquiera de las fracciones que representan.

Actualización:

Me encontré con los sufijos $T$ $V$ significa que la temperatura y el volumen es constante en el proceso.

Answer 1

$E(V,T)$ es un sin especificar la función. Usted no necesita saber la forma para obtener la derivación correcta. La ecuación:

$$dE=\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T dV+\left(\frac{\delta E}{\delta T}\right)_V dT$$

se llama la diferencial de la forma del total de derivados y puede ser escrito para cualquier función, independientemente de la forma; es, simplemente, una definición. Como señaló en su edición de los subíndices en los derivados indican que son para ser tomadas con que variable se mantiene constante. Así que el primer término en el lado derecho es el cambio en la energía con el cambio en el volumen durante una temperatura constante multiplicada por el cambio incremental en volumen.

Si conocemos $dT = 0$ y hemos establecido a partir de la primera ley que $dE = 0$ entonces, nos quedamos con:

$$dE=\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T dV=0$$

Debido a que el gas se está expandiendo, sabemos que el cambio incremental en volumen $dV \neq 0$. Ya que el producto es cero (debido a que $dE = 0$), la única conclusión es que el $\left(\frac{\delta E}{\delta V}\right)_T = 0$

Answer 2

La energía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura. Este resultado no se limita a expansiones libres, sino que es completamente general. Se llega a esta conclusión utilizando la ecuación de Helmholtz.

PS

Si introduce la ley del gas ideal$$\left( \frac{\partial E}{\partial V} \right)_T = T^2 \frac{\partial}{\partial T} \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)$, puede verificar que su energía interna no depende del volumen. Este método es más general porque no asume procesos a temperatura constante.

Answer 3

Un matemático de esto podría ser de interés. Se utiliza la definición en términos de formas diferenciales $dE = T dS -p dV$. Para hacer esto tenemos que reescribir las ecuaciones de los gases ideales (que nos llevan a ser $T=pV$, $S = \frac 1{\gamma-1} \ln (pV^\gamma)$ en el foorm donde $S$ $V$ son las variables independientes. En el caso del gas ideal este es un simple cálculo y obtener $p=e^{(\gamma-1)S}V^{-\gamma}$, $T=e^{(\gamma-1)S} V^{1-\gamma}$. A continuación, podemos utilizar el método estándar para la resolución exacta del ode para obtener $E=\dfrac 1{\gamma-1}e^{(\gamma-1) S}V^{1-\gamma}$, con lo cual se simplifica a $\dfrac 1{\gamma-1}T$. En el caso del gas ideal, podemos calcular los otros tres de la energía-tipo de funciones en la misma y añadimos la los resultados ya que, curiosamente, no las hemos encontrado en cualquier lugar en la literatura secundaria.

De $dH=TdS + Vdp$, obtenemos $H=\dfrac \gamma{1-\gamma}T$.

Los otros dos cálculos son un poco desordenado y obtenemos: de $dF=-SdT-pdV$, $F=T\ln V-\dfrac 1{\gamma-1}(T \ln T-T)$ y a partir de, $dG=-SdT + Vdp$, $G=\ln p-\dfrac{\gamma}{\gamma-1}(T\ln T-T)$.

Este método funciona para el gas ideal debido a la simplicidad de las ecuaciones---en el arXiv artículo 1102.1540 un método sistemático que se ha desarrollado para manejar más elaborado modelos.