Creo que esta es la demostración del Lemma de Euclides, y luego paso a demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética, que es lo que me propuse hacer en un principio. El primer párrafo demuestra el lema de Euclides, el segundo párrafo demuestra que todos los enteros positivos mayores que 1 pueden ser factorizados en primos, y el tercer párrafo demuestra que la factorización es única, que es el Teorema Fundamental de la Aritmética:
Supongamos que una relación a:b se reduce a c:d en términos mínimos, supongamos que c no divide a, y supongamos que c(m/n) = a. Como a:b es la misma ración que c:d, entonces d(m/n) = b, lo que implica que c/m = (1/n)a y d/m = (1/n)b. Por tanto, c/m:d/m es la misma proporción que a:b, lo que demuestra que c:d no está en términos mínimos. Pero eso contradice la anterior suposición anterior. Por tanto, c sí divide a a, y d divide a b el mismo número de veces.
Supongamos que un primo p divide el producto ab pero que p no divide a, de modo que p es relativamente primo de a. Sea n = ab/p; esto debe ser un número entero porque p|ab. Entonces p/a = b/n, y p/a debe estar en términos mínimos términos, porque p es relativamente primo de a. Así, por el párrafo anterior párrafo anterior, debe haber algún x para el que px=b y ax=n, porque los dos cocientes son iguales, y por tanto p|b. Asimismo, si suponemos que p no divide a b, entonces p|a. Así, si p es primo y p|ab, entonces o bien p|a o bien p|b.
Supongamos que n es el menor número entero positivo mayor que 1 que no puede ser escrito como producto de primos. Ahora n no puede ser primo porque tal número es el producto de un solo primo, él mismo. Por lo tanto, el compuesto es n = ab, donde tanto a como b son enteros positivos menores que n. que n. Como n es el número más pequeño que no se puede escribir como producto de primos, tanto a como b deben poder escribirse como el producto de primos. Pero entonces n = ab puede escribirse como el producto de primos simplemente combinando las factorizaciones de a y b. Pero eso contradice nuestra suposición. Por tanto, todos los enteros positivos mayores que que 1 pueden escribirse como producto de primos.
Además, esa factorización es única, ignorando el orden en que se escriben los primos. Ahora supongamos que s es el menor número entero positivo mayor que 1 que se puede escribir como dos productos diferentes de números primos, de modo que s = p1 * p2 * ... * pm = q1 * q2 * ... * qn. Por el lema de Euclides, o bien p1 divide a q1 o bien p1 divide a q2 * ... * qn. Por tanto, p1 = qk para algún k. Pero al eliminar p1 y qk de la equivalencia inicial equivalencia deja un entero más pequeño que puede ser factorizado de dos maneras, contradiciendo la suposición inicial. Por tanto, no puede haber tal s, y todos los enteros mayores que 1 tienen una factorización única.
Por favor, dígame si me he equivocado en algo.
EDIT: He añadido un primer párrafo, y he modificado el segundo párrafo en el punto "debe haber alguna x". El nuevo primer párrafo es el VII.20, el ahora segundo párrafo es el VII.30 (Lemma de Euclides), y los párrafos tercero y cuarto son el Teorema Fundamental de la Aritmética.
¿Ahora está bien?
