transformación de Mellin

Question

¿Se puede mostrar que la siguiente integral converge en$-1<\Re s < 1$ y definir la función holomórfica de$s$?

PS

He buscado en Google por un tiempo, pero no pude encontrar ninguna buena referencia.

Answer 1

Por la continuación analítica creo que tenemos

PS

la parte sinusoidal proviene de la parte imaginaria de$$ \int_{0}^{\infty}dtsin(t)t^{s-1} = \Gamma (s) sin( \frac{\pi s}{2})$