¿Por qué es un subconjunto discreto de un espacio compacto finito?

Question

Tengo una pregunta acerca de la prueba del Lema 5.13 en John Lee el texto de la prueba se muestra a continuación.

Mi pregunta es acerca de la frase subrayada en rojo, ¿por qué es un discreto subconjunto del conjunto compacto finito?

Ahora, el autor jamás da una definición de subconjunto discreto, él sólo da para la topología discreta pero a partir de la frase subrayada en azul, puedo decir que su definición de conjunto discreto es la siguiente,

$S$ es un discreto subconjunto de un espacio topológico $X$ si para cada una de las $ s \in S$, existe una vecindad $U$ $X$ tal que $ U \cap S = \{s\}$. Es esto correcto?

Entonces, si usted toma el $X$ a ser el intervalo cerrado $ [-1,1]$ con el subespacio de la topología inducida por la de$\mathbb{R}$, $X$ es compacto, y deje $S = \{ {1 \over n}, n \in \mathbb{N} \} $, entonces, de acuerdo a la definición anterior, $S$ es discreto pero a la $S$ no es finito??

Siento que me falta algo pero no sé lo que es.
Gracias.

Answer 1

Tienes razón: esto fue un error en la declaración del Teorema 5.13. Hay algunas correcciones para esto en mi lista de erratas en línea , que probablemente querrá descargar y tener a mano cuando lea el libro.

Answer 2

$\{\frac{1}{n}: n =1,2, \ldots\}$ es discreta en el $[0,1]$ (lo que significa que tiene la topología discreta como su topología de subespacio), pero no finita.

Si discretos se define (como se hace a veces) como $A' = \emptyset$ (es decir, un conjunto sin límite de puntos), donde $A'$ es la derivada de conjunto

$$A' = \{x \in X: \exists O \text{ open in } X: x \in O, (O\setminus \{x\}) \cap A = \emptyset \}\text{,}$$

entonces sí: un $A$ es cerrado (como $A' \subseteq A$), por lo $A$ es compacto cuando se $X$ es. El conjunto $A$ tiene la topología discreta como un subespacio : $x \in A$$x \notin A'$, por lo que existe un conjunto abierto $O$$(O\setminus \{x\}) \cap A = \emptyset$, y esto implica que $O \cap A = \{x\}$ está abierto en $A$. La cubierta de la $\{\{x\}: x \in A\}$ es una cubierta abierta (relativamente abierto subconjuntos) de $A$, y este debe ser un número finito de la cubierta, ya que no podemos omitir cualquier conjunto o a los que no cubriríamos $A$, lo $A$ es finito.